分解因式還有一種特殊方法

分解因式在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有較大的比例，作用大，意義深，對(duì)分式的約分和通分以及一元二次方程的解法都起著非常重要的作用.又因多項(xiàng)式的形式各異，所以不管哪種版本的教材，對(duì)分解因式的方法和步驟，在內(nèi)容編排上都是逐步進(jìn)行的，教師要引領(lǐng)學(xué)生首先提取公因式，然后再想著套用公式.無(wú)可非議，這樣安排分解因式的方法和步驟，不僅清楚明確，同時(shí)也體現(xiàn)了分解因式的重要性.所以具有一般學(xué)力的學(xué)生，解答這類題目，在提取公因式以后，最先想到的是能不能利用十字相乘法，或者令這個(gè)多項(xiàng)式等于零，然后再利用完全平方式或求根公式.例如簡(jiǎn)單的分解因式：ｘ2-7ｘ+12，學(xué)生立刻會(huì)想到利用十字相乘法.但是十字相乘法的靈活性較強(qiáng)，絕大多數(shù)版本的教材中，除了安排這種含有一個(gè)字母簡(jiǎn)單的題型外，均適當(dāng)安排了類如ｘ2-9ｘy+18y2這種含有兩個(gè)字母類型的題目，這種類型的分解因式也常常會(huì)出現(xiàn)在一些教輔資料中和考卷上.而當(dāng)學(xué)生一旦遇到這類含有兩個(gè)字母，較為復(fù)雜的多項(xiàng)式時(shí)，分解起來(lái)就感到非常困難了.

例如分解因式：4ｘ2·4ｘy-3y2-4ｘ+10y-3（其中4ｘ2、-3y2叫做二次項(xiàng)，-4ｘy叫交叉項(xiàng)，-4ｘ、10y叫一次項(xiàng)，-3叫常數(shù)項(xiàng)），對(duì)于基礎(chǔ)扎實(shí)一些的學(xué)生來(lái)說(shuō)一般還是能夠利用十字相乘法和求根公式來(lái)分解的.就是先用兩個(gè)二次項(xiàng)“湊”出交叉項(xiàng)，再結(jié)合常數(shù)項(xiàng)“湊出”兩個(gè)一次項(xiàng)，便可以利用十字相乘法進(jìn)行因式分解了.若利用求根公式分解，一般是將原多項(xiàng)式看作關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.

即：4ｘ2-4（y+1）ｘ+（-3y2+10y-3）=（2ｘ+y-3）（2ｘ-

3y+1）.

對(duì)于這種較為復(fù)雜的二元二次多項(xiàng)式，在分解因式時(shí)，使用設(shè)零消元法即可使問(wèn)題刃而解，也很容易被學(xué)生接受.下面就介紹設(shè)零消元法的方法與步驟.

一般地，先設(shè)ax2+bxy+cy2+dx+ey+f能夠分解成兩個(gè)一次因式的積（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2），即：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）.

再設(shè)y=0或x=0，當(dāng)設(shè)y=0時(shí)，等式可變?yōu)椋╝x2+dx+f）=（a1x+c1）（a2x+c2）；當(dāng)設(shè)x=0時(shí)，等式可變?yōu)椋╟y2+ey+f）=（b1y+c1）（b2y+c2）.然后分別對(duì)這兩個(gè)等式左邊的一元二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，進(jìn)行恒等變化，即可得出a1，a2，c1，c2，b1，b２的值，從而得出最終的分解結(jié)果.（說(shuō)明：先設(shè)y=0與x=0先設(shè) 的道理和結(jié)果是相同的.）

【應(yīng)用舉例】

例1：分解因式：4x2-4xy-3y2-4x+10y-3.

解：設(shè)4x2-4xy-3y2-4x+10y-3=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）.

令y=0，得：4x2-4x-3=（a1x+c1）（a2x+c2）.

即：（2x+1）（2x-3）=（a1x+c1）（a2x+c2）.

比較兩邊得：a1=2，a2=2，c1=1，c2=-3.

再令x=0，可得：-3y2+10y-3=（b1y+c1）（b2y+c2）.

即：（-3y+1）（y-3）=（b1y+1）（+b2y-3）.

于是可得：b1=-3，b2=1.

∴4x2-4xy-3y2-4x+10y-3=（2x-3y+1）（2x+y-3）.

（作者單位：安徽省利辛縣鞏店中學(xué)）