一道課本題的探究與思考

新課標的基本理念中提出，數學課堂教學要采用有利于形成積極主動、勇于探索的學習方式，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創造有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，發展創新意識.下面是課本中的一個案例．

【題目】 (蘇教版必修3第95頁例3)將一枚骰子先后拋兩次，觀察向上的點數，問：

(1)共有多少種不同的結果?

(2)兩數之和是3的倍數的結果有多少種?

(3)兩數之和是3的倍數的概率是多少?

這道題是課本在古典概型中安排的一道典型例題，把它作為探究的起點，進一步思考，可以最大地發揮效益.

問題1 把條件改為“一次拋擲兩個骰子，觀察向上的點數”，結果又怎樣呢?

通過問題1可對骰子作標記(1號，2號)，體會其等效性.

問題2 出現點數是一奇一偶的概率是多少?

這是學生易錯的一個問題，且跟放回摸球問題實質上是一類題

(一個袋中裝有大小相同的6個球，其中3個紅球3個白球，從中有放回的摸兩次，則摸出的是一紅一白的概率是多少?)

這里可類比構造如上圖表，第一次奇、第二次偶的有3×3＝9種；第一次偶、第二次奇有3×3＝9種.概率P=9+9/36＝1/2．

問題3 點數之和是幾的概率最大?

由圖可知恰好中間一個數7的概率最大，是16，不僅如此，點數之和為2、3、…、12的概率也是有規律地出現的.

問題4 如果一次擲3個骰子，點數之和分別是3、4、…、18，哪個數出現的概率最大呢?

學生有的猜10，有的猜11，只有少數學生通過畫樹型圖求出概率是27/216＝1/8.

問題5 如果一次擲4個骰子，點數之和是幾的概率最大?你能求出概率是多少嗎?

學生知道點數之和為4、5、…、24，共21個數，應該是中間數14的概率最大，但想要畫圖枚舉幾乎不可能.有學生想到這本質是一個四元不定方程根的個數問題，即x₁+x₂+x₃+x₄=14，其中x_i∈{1，2，3，4，5，6}，但解這個方程很困難.

經過分析，發現可分別令x₁=1，2，3，4，5，6，分類化為六個x₂+x₃+x₄=13，12，11，10，9，8三元方程去解，進一步可轉化為二元方程去解.說明有前面的結果可推出后面的情況.經過驗證發現如下規律：

1.(兩個骰子)點數之和為2、3、4、…、12的種數分別有1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1.

2.(三個骰子)點數之和為3、4、5、…、18的種數分別有1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+5、1+2+3+4+5+6、2+3+4+5+6+5、3+4+5+6+5+4、4+5+6+5+4+3、5+6+5+4+3+2、6+5+4+3+2+1、5+4+3+2+1、4+3+2+1、3+2+1、2+1、1，即有1、3、6、10、15、21、25、27、27、25、21、15、10、6、3、1種.中間兩個數10、11的概率一樣都是27216.

3.(四個骰子)點數之和為4、5、6、…、24的種數分別也有上面規律：1、1+3、1+3+6、1+3+6+10、1+3+6+10+15、1+3+6+10+15+21、3+6+10+15+21+25、…、6+3+1、3+1、1，即有1、4、10、20、35、56、80、104、125、140、146、140、125、104、80、56、35、20、10、4、1，最中間一個數14的概率最大，是146/6⁴，分子恰好是最中間六個數的和.

……

一直往下推導，是不是和楊輝三角的形式相類似呢？