實際問題中利用二次函數(shù)求最值值的三種類型
2008-12-31 00:00:00陳憲勝
中學教學參考·理科版 2008年7期
利用二次函數(shù)解決實際問題是中考的熱點題型，該題型常設(shè)計成從實際問題情境中確定二次函數(shù)的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.下面以2007年的中考試題為例來說明求最值的三種類型．
一、利用配方法或公式法求最值
【例1】 (2007年，青島)某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量w(千克)隨銷售單價x(元／千克)的變化而變化，具體關(guān)系式為：w=-2x+240．設(shè)這種綠茶在這段時間內(nèi)的銷售利潤為y(元)，解答下列問題：
(1)求y與x的關(guān)系式；
(2)當x取何值時，y的值最大?
(3)如果物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元／千克，公司想要在這段時間內(nèi)獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元?
解：(1)y=(x-50)#8226;w
=(x-50)#8226;(-2x+240)
=-2x2+340x-12000，
∴y與x的關(guān)系式為：
y=-2x2+340x-12000．
(2)y=-2x2+340x-12000
=-2(x-85)2+2450，
∴當x=85時，y的值最大．
(3)當y=2250時，可得方程
-2(x-85)2+2450=2250．
解這個方程，得x1=75，x2=95．
根據(jù)題意，x2=95不合題意，應(yīng)舍去．
∴當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元．
評注：建立二次函數(shù)關(guān)系式后，利用配方法確定二次函數(shù)的頂點坐標，即可求出函數(shù)的最大值.
二、利用自變量的實際意義求最值
【例2】 (2007年，南通)某商場將每臺進價為3000元的彩電以3900元的銷售價售出，每天可銷售出6臺．假設(shè)這種品牌的彩電每臺降價100x(x為正整數(shù))元，每天可多售出3x臺．(注：利潤=銷售價-進價)
(1)設(shè)商場每天銷售這種彩電獲得的利潤為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)銷售該品牌彩電每天獲得的最大利潤是多少?此時，每臺彩電的銷售價是多少時，彩電的銷售量和營業(yè)額均較高?
解：(1)y=(3900-100x-3000)(6+3x)
=-300x2+2100x+5400.
(2)y＝-300x2+2100x+5400
=-300(x-3．5)2+9075．
因x為正整數(shù)，∴當x=3或4時，y=9000.
當x=3時，單價為3600元，每天銷售15臺，營業(yè)額為54000元；
當x=4時，單價為3500元，每天銷售18臺，營業(yè)額為63000元.
∴最大利潤是9000元，此時單價是3500元.
評注：根據(jù)頂點坐標，當x=3．5時，y取得最大值.但由于已知自變量x為正整數(shù)，所以取x=3或4，當x=3或4時，計算出彩電的銷售量和營業(yè)額，比較得出結(jié)論.
三、利用函數(shù)的增減性求最值
【例3】 (2007年，貴陽)某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．
(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價x(元／箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元）與銷售價x(元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
解：(1)y=90-3(x-50)，化簡得：
y=-3x+240.
(2)w=(x-40)(-3x+240)
=-3x2+360x-9600．
(3)w=-3x2+360x-9600．
∵a<0，∴拋物線開口向下．
當x=-b/2a=60時，w有最大值．
又x<60時，w隨x的增大而增大，
∴當x=55元時，w的最大值為1125元．
∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤．
評注：本題自變量x最大取值是55，而利用公式，當x=60時，w有最大值，x的取值超出了自變量的取值范圍，所以可利用二次函數(shù)的增減性來求得最大值.
實際問題中二次函數(shù)的最值受自變量取值范圍的限制，當頂點的橫坐標在這個范圍時，可直接利用頂點坐標來求；當頂點的橫坐標不在這個范圍時，要根據(jù)函數(shù)的增減性，求自變量取值范圍兩端點所對應(yīng)的函數(shù)值為該函數(shù)的最值；求最值時，還要根據(jù)自變量的實際意義，如商品數(shù)量只能為整數(shù)、人數(shù)為整數(shù)等，通過計算比較才能確定最值.
