例析圓中的多解問題

圓中的多解問題是中考中常見題型，解這類幾何題的思路是：要有分類意識，分類時，要抓住題中的不確定因素，選擇恰當的分類標準，全面準確地求解.

一、點的位置不確定，需分類求解

【例1】 △ABC是半徑為3cm的圓的內接三角形，若BC=3cm，則∠A的度數為_________.

解析：如圖1，連結OB、OC，則△OBC為等邊三角形，∠BOC=60°，點A可能在優弧上，也可能在劣弧上，因此∠A的度數為30°或150°.

【例2】 已知點P到⊙O的距離最長為7cm，最短為1cm，則⊙O的半徑是________.

解析：題目沒有指明點P與圓的位置關系，因此應分為：點P在圓上、點P在圓內和點P在圓外三種情況來考慮.由于點P到圓上點的最短距離為1cm，故點P不可能在圓上；當點P在圓內時，如圖2所示，PA=7cm，PB=1cm，由AB=7+1=8（cm），此時圓的半徑為4cm；當點P在圓外時，如圖3所示，PA=7cm，PB=1cm，則AB=7-1=6（cm），此時圓的半徑為3cm.

二、弦的位置不確定，需分類求解

【例3】 已知⊙O的半徑是2cm，⊙O的弦AB=1cm，AC=2cm，則∠BAC=______.

解析：如圖4，過點A作圓的直徑AD，易求∠BAD=60°，∠CAD=45°，當弦AB、AC在直徑AD的同側時，∠BAC=60°-45°=15°；當弦AB、AC在直徑AD的兩側時，∠BAC′=60°+45°=105°.

【例4】 在半徑為5cm的⊙O內有兩條相平行的弦AB、CD，且AB=8cm，CD=6cm，則這兩條弦之間的距離是_________.

解析：1cm或7cm.

【例5】 在半徑為10的⊙O內有一點P，OP=6，在過點P的弦中，長度為整數的弦的條數為（）.

A.5條 B.6條 C.7條 D.8條

解析：如圖7，可先求出過點P的弦中最短弦AB的長度為16，最長弦CD的長度為20，設過點P的弦的長度為d，則16≤d≤20，因此，過點P的弦的整數長度有16、17、18、19和20五種，其中長度為16和20的弦各有一條，長度為17、18和19的弦各有兩條，一共8條，故選D.

三、圓的位置不確定，需分類求解

【例6】 以O為圓心的兩個同心圓的半徑分別是10和4，若⊙P與兩圓都相切，則⊙P的半徑是__________.

解析：⊙P既可以如圖8所示與小圓外切且與大圓內切，也可以如圖9所示與兩圓都內切，因此⊙P的半徑是10-4/2=3或10+4/2=7.

【例7】 ⊙M與⊙N相交于A、B，它們的半徑分別是4cm和5cm，公共弦AB=6cm，則圓心距MN=_____________.

解析：由于受思維定勢的干擾，許多同學往往習慣于圖10中M、N在AB的異側的情況，只得到一個解（4+7）cm，而忽視了如圖11中M、N在AB的同側的情況，漏掉了（4-7）cm這個解.

【例8】 ⊙A與⊙B相外切，⊙A的半徑是1cm，⊙B的半徑是4cm，則半徑為6cm且與⊙A、⊙B都相切的⊙M一共可以作出（）.

A.4個B.5個

C.6個D.7個

解析：⊙M與⊙A、⊙B都相切應分下列4種情形：

（1）⊙M與⊙A、⊙B都相外切，可作2個；

（2）⊙M與⊙A、⊙B都相內切，可作2個；

（3）⊙M與⊙A相外切且與⊙B相內切，可作1個；

（4）⊙M與⊙A相內切且與⊙B相外切，可作1個.

所以，一共可作6個，選C.

想一想：如果把題目中⊙M的半徑分別改為2cm、4cm、5cm，結果怎樣呢？如果題目中⊙M的半徑為r，你能對r的取值進行分類討論，得出幾種不同的結果嗎？