證題中的證明過程簡略書寫的“度”

我市今年期末初二考試數(shù)學試卷中，有這樣一道題：已知：如圖1，AB=AC，DB=DC，求證：AD垂直平分BC.

閱卷過程中，發(fā)現(xiàn)有些學生的證明過程是這樣書寫的：

∵AB=AC，

DB=DC，

∴AD垂直平分BC.

對這種證明，閱卷老師產(chǎn)生了兩種截然不同的意見：一種意見認為這種證明只是把已知條件和求證的結(jié)論重寫一遍，根本看不出證題思路，另一種意見則認為說出了AB=AC，DB=DC，根據(jù)線段中垂線定理的逆定理，就有點A、D都在線段BC的垂直平分線上的結(jié)論，當然AD垂直平分BC了，中間的過程可以省略.

在以往的中考閱卷中，也曾出現(xiàn)過類似爭議.究竟證明過程簡略書寫有沒有個適當?shù)摹岸取被蛞话愕囊竽?本文想就這個問題結(jié)合當前的教材談點個人的淺見.

一、三段論法的完全式與簡略式

從理論上講，推理論證一個定理的過程，就是根據(jù)邏輯上的三段論法，以這個定理以前的理論為大前提，以這個定理的條件為小前提，推導出這個定理結(jié)論的過程.

例如，要證明方程x²-x-k²=0必有兩個不相等的實根(k為實數(shù))，采用三段論法的完全形式應該這樣敘述證明過程：

因為一元二次方程的根的判別式Δ＞0時，方程必有兩個不相等的實根(大前提)，

現(xiàn)在一元二次方程x²-x-k²=0的判別式Δ=1+4k²＞0(小前提).

所以原方程必有兩個不相等的實根(結(jié)論).

“為了敘述簡潔，常常采用簡略形式，即只寫出大前提或小前提和結(jié)論，甚至只寫結(jié)論，而把大小前提都略去，這叫做簡略三段論.”(《初等幾何研究》P61，江蘇省高師數(shù)學教育研究組編)那么，利用簡略式上面的證明可敘述為：

∵Δ=1+4k²＞0，

∴方程x²-x-k²=0必有兩個不等實根.

這種簡略式，在壽望斗先生編著的《邏輯與數(shù)學教學》一書中也是得到認可

的，只不過壽先生把它叫做省略式而已．現(xiàn)行教材《幾何》課本中采用的也是這

種形式.

但是，對于一些較復雜的定理的證明，往往需用若干個三段論才能完成，由

若干個三段論才能完成的三段論(復合三段論)的簡略式應該簡略到什么程度呢?

二、復合三段論的簡略式的簡略“度”

綜觀教材上的簡略式大致可分為以下三種類型：

1.省略大前提，且前一個三段論的結(jié)論作為后一個三段論的小前提時重復

寫出型(使用推出符號書寫的證明過程也屬于這種類型).

例如：在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，求證：△ADC≌△CBA.

證明：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB.

在△ADC和△CBA中，

AD=CB，∠DAC=∠ACB，AC=CA.

∴△ADC≌△CBA.

這里∠DAC=∠ACB是第一個三段論的結(jié)論，但作為第二個三段論的小前提時，又

重新寫出來了.

2.省略大前提，且前一個三段論的結(jié)論作為后一個三段論的小前提時不重

復寫出型.

例如：在△ABC中，D為BC的中點，且DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，且DE=DF，求證：AB=AC.

證明：在Rt△DBF和Rt△DCE中，

DB=DC，DF=DE，

∴Rt△DBF≌Rt△DCE.

∴∠B=∠C.

∴AB=AC.

這里的每一個三段論的大前提都省略了.Rt△DBF≌Rt△DCE既是第一

個三段論的結(jié)論，又是第二個三段論的小前提，但作為第二個三段論的小前提時

就沒有重復寫出.∠B=∠C是第二個三段論的結(jié)論，也是第三個三段論的小前

提，但作為小前提時也沒重復寫出.

3.將前一個三段論的結(jié)論直接作為后一個三段論的小前提型.

例如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，BC=2AD，且F為BC的中點，求證：S四邊形AFCD=S△ABC.

證明：

∵△ABF≌△CAD，

∴S△ABF=S△CAD.

又∵S△ABC=2S△ABF，

S矩形ADCF=2S△ADC，

∴S△ABC=S矩形ADCF，

這里△ABF≌△CAD是某個三段論的結(jié)論，但這里都直接作為后一個三段論的小前提給出了.后面第二個“∵”號之后的兩式也是如此.

用以上的范例為依據(jù)，我們是否可以對由若干個三段論來敘述的簡略式的簡略“度”作這樣的描述：若對某個定理的證明需要用若干個三段論來完成，書寫時對所有三段論的大前提都可以省略，當前一個三段論的結(jié)論作為后一個三段論的小前提時，可以省略不寫；對于較復雜的證明題，如果證明過程中的某個三段論的結(jié)論比較顯然，可以作為后一個三段論的小前提直接給出(如3).

用這個“度”來衡量一下本文開始時的那個問題，可以發(fā)現(xiàn)：在那個本來只需要三個三段論就能完成的證明過程中，學生省略了第一、二兩個并列三段論的大前提和結(jié)論(結(jié)論一般是不能省略的)，也省略了第三個三段論的大、小前提，確實令人難以看出證題思路，以不給分或適當扣分為宜.

三、對證明過程書寫錯誤的反思與建議

目前，學生在證明中的問題很多，最主要的有以下三個方面：1.邏輯混亂；2.方向不明；3.跳躍性過大.造成這些問題的原因是多方面的，但不容置疑，學生缺少用三段論法推理的經(jīng)驗是直接原因之一．他們從課本上見到的都是一些簡化的內(nèi)容，老師對他們的訓練也都是簡化的訓練，這種以簡化的內(nèi)容進行簡化的訓練對培養(yǎng)學生正確證明的能力是很難奏效的．所以壽望斗先生在他的著作中嚴肅地指出：“推理采用省略式時，并不是常常可以看出它的正確與否.只有把它恢復成完整的三段論式，才能幫助我們發(fā)現(xiàn)推理中的錯誤．因此，把省略式恢復為完全式，也是一個重要的邏輯方法.必須教導學生學會這種方法．等到他們已經(jīng)熟悉以后，再采用通常的省略形式.”(《邏輯與數(shù)學教學》P88).為此，我向各位同行建議；教學中一定要采取一些措施，體現(xiàn)這種“由繁到簡”、“由簡到繁”的過程，以此提高學生正確書寫證明過程的能力.