略論不確定條件下的本量利動態決策

[摘 要] 本量利法是管理會計中應用最廣、最具價值的方法之一，傳統的本量利分析是建立在一系列假設的理論基礎上的，而這些假設條件與充滿不確定性的企業經營管理環境存在一定差距，使本量利法在一些重要決策中的建議與后來的現實發展出現偏差，進而限制了本量利法推廣。本文主要從多變的現實條件入手，借用概率論與數理統計方法，本著動態決策的要求，對本量利法進行了分析，旨在找出一些實際的解決方案。

[關鍵詞] 本量利法 動態決策 不確定條件

一、本量利法及其在不確定條件下的動態決策問題

本量利法（Cost Volume Profit Analysis）是成本-業務量-利潤關系分析的簡稱，又稱為CVP法，是在對成本習性分析的基礎上，以數學化的會計模型與圖式來揭示固定成本、變動成本、業務（銷售）量、利潤等變量之間的內在規律性聯系，為企業財務預測、決策和規劃提供必要的決策支持信息的一種定量分析方法。由于極強的操作性，本量利法一直是企業管理中應用最廣、最具價值的方法之一 。我們研究不確定條件下本量利法動態決策的目的是為了建立一系列有相當實用價值的會計決策支持數學模型，將這些模型應用于計算機網絡環境，以提高管理決策系統的決策支持能力，使之成為基于INTERNET的會計決策支持體系結構創新研究的一個重要組成部分。

一般而言，傳統的本量利法是這樣的：

由于，

R利潤，為銷售單價，A為單位變動成本，X為銷售量，C為固定成本，A×X+C為總成本。

因此，保本銷售量：

保利銷售量：

可見，本量利法揭示了固定成本、變動成本、業務（銷售）量、單價、利潤等變量之間的內在規律性聯系，借助于這種方法，企業可以預測只有銷售多少數量的產品時才能保本，或者預測在一定的銷售數量下能獲得多少利潤，或者要獲得一定的利潤必須銷售多少產品才行，以及為了擴大銷售數量，必須把產品的單價降為多少等。本量利分析是加強企業內部管理的一項有效措施，它可以為企業的預測和決策提供十分有用的資料，其原理十分簡單并便于理解，故其可操作性很強，且涉及的屬于企業決策中最關鍵的領域（如以固定成本為代表的資產情況，變動成本為代表的生產情況，銷售量為代表的業務情況，利潤為代表的運作情況），故在企業管理中得以廣泛應用。

在企業管理實務中，本量利法為企業財務預測、決策和規劃提供必要的決策支持信息，并在生產、銷售、成本控制等領域發揮了極大的作用。但在面臨競爭越來越激烈的今天，市場條件變化萬千，企業經營的不確定性越來越大；而傳統的本量利法，常常假定企業處于一種確定、靜態的經營環境中，決策時只考慮本次行動的效果，而忽略其后續影響。因此，傳統的本量利法沒有以變化、發展的眼光看世界，也就沒從企業經營的整體高度考慮企業的經營；這就難免使當前利益影響長遠發展，局部利益制約整體進步等弊病出現。因此這些曾經為本量利法推廣發揮了重大作用的假設，隨著社會的發展已轉化為制約本量利法更好地為管理服務的絆腳石，限制了其作為有效管理規劃分析方法的有用性。為此，有必要對不確定條件下的本量利動態決策進行探究，使其得到更廣泛的運用。

二、不確定條件下本量利法期望收益的確定與一般決策

銷售量是本量利法的基本參數之一，而未來的銷售量一般是不確定的，為了更好地對未來決策提供資料，我們有必要利用概率與統計的方法來進行決策。若預計銷售量為隨機變量時，則可根據歷史數據估計未來銷售量的概率分布；若歷史數據太少，應該依靠經驗豐富的專家，估計出銷售量的主觀概率分布，然后應用本量利法。如我們根據歷史數據已經預計的未來銷量X是一個服從期望值為μ，方差為σ2的正態分布X～N(μ，σ2)，下面，筆者將分析怎么利用本量利法進行決策。

因為，收益=R=P價-A)×X-C

R為收益或利潤，P價為單位售價，A為單位變動成本，C為固定成本，根據未來銷量X有一個期望值為μ，代入上式，得本量利法下的期望收益：

期望收益=E(R)=(P價-A)×μ-C=(P價-A)×-C

式中，為期望銷量（n：結果數，Xi:第i種結果出現的銷量，Pi:第i種結果出現的概率）。

當然，我們確定了期望銷量，可以計算期望收益，也可以利用傳統的本量利法進行保本點、保利點的決策。

三、不確定條件下的線性本量利靜態風險決策分析

決策中，在相同期望收益（在一個項目的期望收益下，）的情況下，人們一般選擇風險小（標準差σ小）的項目，但是，也不排除一些愛好風險的人選擇標準差σ大的項目，因σ越大，就有取得超過希望收益很多的可能性（當然，低于希望收益的可能性也很多）。因此，人們需要了解項目的期望收益與收益的標準差，以決定其行為。對于一個項目其未來銷量X是一個服從期望值為μ、方差為σ2的正態分布 X～N(μ，σ2)而言，通過以下推導，可得到其期望收益與收益的標準差：

由上可知，期望銷量：

Xi銷量與期望值的離散程度，標準差：

Ф（ )為標準正態分布隨機變量的正態分布函數，以大寫字母X表示隨機變量，以小寫字母x表示隨機變量出現的特定實現值。依定義，有：P(Xx)＝Ф（x），即隨機變量X小于特定實現值x的概率（可能性）。

如果銷量X是一個服從期望值為μ，方差為σ2的正態分布 X～N(μ，σ2)，則就可把銷量X的正態分布轉換為標準正態分布，有

即Xx的概率:

如果產品銷售量x為正態分布隨機變量（具有期望值E(x)=μ和標準差D(x)=σ），其產品價格P價、變動成本A與固定成本C為已知變量，則正態分布隨機變量線性組合符合正態分布規律，亦即若利潤R(x)為關于銷量x的函數，依據本量利法，表示為R（x）＝（P價－A）x－C，那么R(x)也是個符合正態分布規律的隨機變量，其期望值（收益）可以由下式得出：

E(R)＝E[(P價－A)x－C]＝(P價－A)E(x)－C＝(P價－A) μ-C

同樣利潤的標準差D(R)為：

得出利潤的期望值與標準差后，通過對E(R)和D(R)分析，計算得出不同項目、不同盈利水平的概率，得出決策者需要的相關信息，使決策者根據自己的風險態度進行決策。如果決策者是風險規避型，他就將選擇盈利概率較大的方案；如果風險中立型，他將選擇期望收益較大的方案；如果是冒險型，他將選擇雖然風險大，但收益額最大的方案。

四、不確定條件下的線性本量利動態決策分析

一般而言，人們決策中，總是選取收益或期望收益最大的項目。但是，既是期望收益，那么就面臨風險，有實現不了的可能（如一個項目達不到自身期望收益的概率就有50%），因此，人們在決策中并非總是選擇期望收益高的項目。至于人們如何選擇，下面舉一個簡單例子來說明，A項目收益有50%可能為0，另50%為100，其E（RA）=50；B項目收益100%為40，其E（RB）=40；E（RA）＞E（RB），若是處于靜態決策，人們一般會選A項目。但現時社會中，靜態決策的機會十分有限，動態決策才是主要的決策方式。那么，在動態決策中，遇見上述情況，人們是否都會選A項目呢，那就要看后續項目是否或怎樣受上一輪決策的影響；如在第一輪取得40 就可進入第二輪，且第二輪的收益為足夠大，比如≥200，那么，從兩輪行動的總體效果來看，幾乎所有的人都會選擇B項目，即選擇更容易實現入門基礎收益的項目。因此，我們需要解決一個應用本量利法的項目取得的入門基礎收益的概率問題，用概率來指導我們決策。

從不確定條件下的線性本量利靜態風險決策分析的推導中，我們獲得了：

E(R)＝(P價－A)μ-C

D(R)＝(P價-A)σ

因此，未來利潤服從R～N[(P價-A)μ-C，(P價-A)2σ2]的正態分布。根據R的分布，可按下式推算出銷售量至少達到入門基礎收益（或保利點）R1的概率。

P(入門基礎收益)

通過查標準正態分布函數值表，就很容易確定入門基礎收益（或保利點）R1的概率（若其中設入門基礎收益R1＝0，則可求出項目取得保本點的概率）。對于一個項目而言，由于其不同的規劃，如環境（生產條件的苛刻程度）要求不同，固定資產質量的不同，廣告力度不同等等因素，其相應的A、C、P價就不同，銷量水平和分布情況μ和σ不同，雖然有相同的入門基礎收益R1，但計算出的入門基礎收益（或保利點）R1的概率就有差異；對比兩個項目取得R1的概率，選擇具有更高實現概率的項目予以實施，即完成了第一輪行動。這種對第一輪行動的選擇結果，將會使企業更易于取得第二輪的資格，并通過兩輪或多輪項目實施的綜合收益，使該項活動的總體（包括第一輪、第二輪、…行動）結果對企業更有利。

五、不確定條件下的非線性本量利動態決策分析

上面分析，我們認為未來的銷量為隨機變量分析得出線性本量利動態決策模式，在分析中，仍然使用了一系列假設，比如假設成本和收入函數均為線性函數的，但是現實社會中，銷售受外部環境影響，在完全競爭的環境下，企業銷售量對外部價格的影響非常有限，故假設收入函數是線性的具有相當的現實合理性。但由于經驗學習曲線 和規模經濟效應 的存在，線性的成本函數就與現實差距較大，因此，對于上一節的結論，就有必要再作修正，提出非線性的成本函數下的本量利動態決策。當我們在本量利法中，把線性的成本函數下的總成本A×X+C更改為非線性的成本函數的總成本=A×X2+B×X+C，就得到非線性本量利條件下的收益函數：

R=P價×X-（A×X2+B×X+C）

我們通過數學期望、標準差的定義公式，仍然可以計算出此時收益的E(R)、D(R)，然后，我們仍可通過上面的方法計算出入門基礎收益（或保利點）R1的概率，并結合下一輪收益的情況進行選擇，使企業從整體、長遠方面獲得更多的收益。

另外，還要進一步說明，本小節所述的針對非線性本量利動態決策的方法，并非是一個最完美的方法。因為，未來銷量X服從正態分布，其正態隨機變量的線性結合仍然呈正態分布，但其非線性結合則不一定呈正態分布，因此，采用正態分布的方法求解非線性的利潤函數并非完美；更好的方法是具體分析利潤的分布函數服從于哪一種分布形態，再利用其求解概率的方法計算精確的入門基礎收益（或保利點）R1的概率。但是，因為客觀實際中的許多變量適用于中心極限定理，呈正態分布或往往近似地服從正態分布，所以我們采用正態分布求解概率的方法仍有一定的合理性，同時也降低了人們在實際應用時的難度。

六、總結

由上述分析可以看出，就盈虧分界點和目標利潤所對應的業務量的計算而言，上述不確定條件的本量利動態分析和傳統的本量利分析沒有本質區別，只是分析的中心轉移到了期望收益、收益分布的標準差和入門基礎收益實現的概率計算方面上來。

企業經營的環境是一個不斷變化和充滿不確定性的環境，企業在生產經營的過程中會遇到各種復雜的問題，沒有一成不變的方法和公式，企業的經營決策者只有根據企業自身實際情況不斷的總結，研究出適合自身發展和需要的方法。本量利法的基本公式雖然受到現實條件的限制，但是其原理仍是積極有用的，因此，企業應當靈活的運用本量利法，為企業的決策提供有用的信息。

參考文獻：

[1]余緒纓:管理會計學(研究生用，第二版）[M].北京:中國人民大學出版社，2005

[2]林萬祥:成本論[M].北京:中國財政經濟出版社，2001

[3]Robert Kaplan. Advanced Management Accounting ， Third Edition [M]. London: Prentice-Hall Inc，1998

[4]林忠偉:不確定條件下的本量利分析[J].江蘇大學學報，2002，（12）:20-30

[5]南京大學會計學系課題組.成本性態管理在中國企業的運用及思考[J].會計研究，2001，(11):33-39

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。