運用高等數學對經濟分析的探討

在高速發展的經濟建設中，現代化經濟理論已經從過去的經濟定性分析發展成為量性分析和定性分析相結合。因而高等數學的一些方法如函數理論微積分矩陣概率統計運籌學等知識在經濟管理中都有了廣泛的應用。使得人們能從理論上分析有關的經濟模型，從而給出合理的解釋，更好地對經濟建設起指導作用。

一、函數在經濟分析中的應用

在經濟活動中生產者與消費者通過市場交換商品，消費者購買商品是為了得到它的效用，生產者提供商品為了獲取利潤，而市場就是生產者和消費者之間的橋梁我們知道某種商品的市場需求量是商品價格的函數，一般說來將隨著價格的上漲而減少，即需求量是市場價格的單調減少函數，與需求函數相反，供給函數是隨著市場價格的上漲而增加。收人是生產者生產的商品售出后的收人，生產者銷售某種商品的總收人取決于該商品的銷售和價格，成本函數固定成本廠房設備管理者的固定工資等和變動成本原材料勞動者的工資等，利潤是生產者扣除成本的剩余部分它也是產量的函數。.

例:已知生產某種商品q件時的總成本(單位：萬元)為

C(q)=10+5q+0.2q

如果每售出一件該商品的收入為9萬元。

(1)求生產10件該商品時的總利潤。

(2)求生產20件該商品時的總利潤。

解由題意可知，該商品的收入函數是R(q)=9q(萬元)

又已知C(q)=10+5q+0.2q(萬元)

利潤的函數為L(q)=R(q)一c(q)=4q一10一0.2q(萬元)

(1)生產10件該商品時的利潤為

L(10)=4x10一10一0.2x102=10(萬件)

(2)生產20件該商品的總利潤為

L(20)=4x20一10一0.2x 202=-10(萬元)

從上面這個例子，我們可以分析這樣現象，即利潤并不是總是隨著產量的增加而增加有時會產量增加，利潤反而減少，甚至會產生虧損。由理論分析得知利潤函數分三種情況：

L(q)=R(q)一c(q) > 0此時生產者盈利。

L(q)= R(q)一C(q) < 0生產者虧損。

L(q)=R(q}-C(q)= 0此時生產者即不盈利也不虧損即收支平衡。

盈虧分析常用于企業經營管理中各種價格或生產的決策。

二、微積分在經濟分析中的應用

在經濟學里習慣上用平均和邊際這兩個概念來描述一個經濟量對于另一個經濟量的變化，如邊際成本其經濟含義當產量為再生產一個單位產品所增加的總成本C(q+1)-C(q)=△C(q)=C(q)

邊際利潤總利潤的平均變化率設銷售某種產品利潤函數為等于總收入減去總成本即那么由導數的運算法則可知所以，邊際利潤等于邊際收人減去邊際成本。

例:已知生產某種彩色電視機的總成本函數為

C(q)=2.2x103q+8x107

通過市場調查可以預計這種彩電的年需求量q=3.1x105一50p，試求使利潤最大的銷售量和銷售價格。

解由需求量q=3.1x105一50p，解得

p=6.2x103-0.02q，那么當銷售量為最大時，總收入函數為，R(q)=P(q)=6.2x103q-0.02q3利潤函數為L(q)=R(q)-C(q)= 4x103q-0.02q3-8x107

L’(q)=4x103q -0.04q

令L’(q)=4x103q -0.04q=0，得惟一駐點q=105由實際問題可知，q=105是利潤函數的極大值點，也是它的最大值點，最大利潤為

L(105)= 4x103x105-0.02x108-8x107= 1.2x108

當q=105，彩電的銷售價格為p=6.2x103-0.02x105=4200(元)

邊際需求為q(P)= -50，需求彈性為

使利潤最大的彩電售價為P=4200(元)，那么需求彈性為

即當彩電售價為需求彈性為富有彈性，此時適當降價不僅能夠增加銷售量，擴大本企業的彩電在銷售市場上的占有份額，同時也能減少產品的庫存積壓，降低庫存成本，增加銷售總收人，給企業帶來經濟效益。

三、線性方程組在經濟分析中的應用

國民經濟是一個相互聯系、彼此制約的大系統，任一因素的變動都會產生一系列的直接影響和間接影響，當各產業部門間的技術系數即直接消耗系數矩陣A確定后，就可以通過最終需求Y，求出一個經濟系統中，各產業部門之間存在著密切的關系。即

例如:下表列出了我國2005年三個產業部門的中間產品，最終產品的統計結果。

三產業的直接消耗函數矩陣

第一產業提價，那么，可以認為第一產業的最終產品有4628億元的缺口，其他兩個產業的最終產品不變，即

可見，第一產業總產品實際增量為555.36億元，增加幅度為，即第一產業的總產品只增加6.11%，由此可以知道并非漲多少就能賺多少。

總之，通過對經濟模型的數學分析，可以更好的為企業進行科學的管理，提供科學的理論依據。

參考文獻：

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