一道解析幾何題的多種解法

在高中數學教學中，習題具有很高的教學價值，尤其是題中蘊含的數學方法具有典型性和深刻性.要引導同學們充分挖掘習題內涵，從不同的角度來審視和探求出不同的解決方案，它對于開闊同學們的視野，提高同學們分析問題、解決問題的能力是十分有效的.

題目 設Q是橢圓C：+=1上任意一點，求Q到直線l：x+2y-12=0的距離的最小值.

分析 本題考查解析幾何與向量知識的綜合，題目本身難度不算大，認真思考發現求橢圓上動點到定直線的最短距離的方法，靈活多樣，這里著重從多個角度，多種方法來探討最小距離的求法，體會其中蘊含的思想方法，最終達到提升思維能力的目的.

一、參數法

分析 根據橢圓的參數方程，可以設動點Q的坐標為（2cosα，3sinα）（0≤α<2π），然后通過點到直線的距離公式求出距離關于角α的表達式，并確定最小值.

解析 不妨設橢圓上的任意一點Q（2cosα，3sinα）（0≤α<2π），則點Q與直線l的距離可以表示為d==.

當sin(α+30°)=1時，dmin==，此時α=60°，點Q(1，).

點評 一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線等有關的問題時，經常利用曲線的參數方程，將二元變量轉換為一元變量，然后利用三角函數知識來求解.

二、判別式法

分析 動點到定直線的距離最值問題可轉化為求與已知直線平行，且與橢圓相切的切線位置問題，此時最小距離為兩直線間的距離.

解析 設橢圓的切線方程為x+2y+c=0，與橢圓方程+=1聯立，消去x得16y2+12cy+3(c2-4)=0，因為△=144c2-192(c2-4)=0，解得c=±4.

由圖像特征知，滿足條件的切線截距為正值，故c=-4，所求切線方程為x+2y-4=0，根據兩直線的距離公式，得d==.

點評 將動點到定直線的距離最值問題，轉化為曲線與直線相切的位置關系問題，一般可用二次方程的判別式求解.

三、導數法

分析 求橢圓上的動點到定直線距離最小值問題，可轉化為利用導數去求橢圓上切線斜率等于已知直線斜率，然后求切點，此時切點與定直線的距離為最小距離.

解析 將橢圓方程+=1變形為y2=，由圖像特征知，滿足條件的切點應在第一象限，則取y=，得y′=，又直線l的斜率為-，得y′==-，解得x=±1，則切點的橫坐標為x=1，代入y=，得切點縱坐標y=，橢圓上到直線距離最短的點為(1，)，所求最短距離為d==.

點評 將動點到定直線距離最值問題轉化為利用導數的幾何意義去求曲線上切于一點的切線斜率問題，此法是對求直線斜率思想的豐富和有益補充.

四、切線法

分析 動點到定直線距離的最值問題可轉化為求與已知直線平行，且與橢圓相切的切線位置問題，此時最小距離為兩直線間的距離.

導數法告訴我們用求導數的方法求橢圓上一點的切線的斜率，那么類似于圓上一點的切線方程，我們看一個關于橢圓切線的結論：

結論 設P (x0，y0)是橢圓+=1上的點，過該點的切線方程為+=1.

解析 設切點為P(x0，y0)，則切線方程為+=1，此時切線斜率為-，得+=1，-=-，解得x0=1，y0=或x0=-1，y0=-，代入切線方程，化簡得x+2y±4=0.

又由圖像知，滿足條件的切線截距為正值，即切線方程為x+2y-4=0，根據兩直線的距離公式，得d==.

點評 通過利用橢圓的切線公式，得到橢圓上一點的切線方程，從而求出該點切線的斜率，最后聯立方程組，求出切點和切線方程，得出最短距離，此法是對導數法的有益補充.

五、不等式法

分析 動點到定直線距離的最值問題可轉化為利用柯西不等式求最值問題.

解析 設橢圓上一點Q(x0，y0)，則+=1，且點Q與直線l的距離d=.

由柯西不等式，得 16=(+)(4+12)≥(·2+·2)2=(x0+2y0)2.

即|x0+2y0|≤4，所以dmin==.

點評 動點到定直線距離的最值問題可轉化利用柯西不等式求最值，關鍵是構造兩組數，并向柯西不等式的形式轉化.

六、橢圓化圓法

分析 在解析幾何中，橢圓與圓有著千絲萬縷的關系，橢圓往往可以看成圓的變形和推廣，常常把涉及橢圓的問題轉化為有關圓的問題解決，下面我們嘗試通過坐標線性變換把橢圓化為圓處理.

解析 令x′=，y′=，則已知橢圓和直線l變換為相應的圓x′2+y′2=1和直線l′：x′+y′-6=0，從而所求問題變為：求圓x′2+y′2=1上一點到直線l′：x′+y′-6=0的距離最短問題，由圓的性質和平面幾何知識可知，過圓x′2+y′2=1的圓心O′(0，0)作直線l′的垂線段，交圓于點P′(x′，y′)，點P′到垂足的距離最短，由直線l′的垂線O′P′:y′=x′和圓x′2+y′2=1相交，解方程組可求點P′為(，)，則橢圓上相應點P(1，)，所求距離為d==.

點評 通過坐標線性變換（換元法）使得橢圓問題化作圓處理，從而將動點到定直線（或定點）的距離最小值問題轉化為運用圓的性質和平面幾何知識的問題，我們可以利用該方法解決許多與橢圓有關的問題，此法不僅解決了常規方法下運算量大、較難處理的橢圓問題，還能充分地感受到平面幾何的魅力.

責任編校 徐國堅

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