直線與圓的兩道開放題

愛因斯坦曾說：“提出一個問題比解決一個問題更重要.”在近幾年的高考中，要求考生自己提出數學問題并解決的考題時有出現，這就需要我們不斷學會提出數學問題，并提高解決問題的能力.以下兩道開放題是我給同學們訓練用的，本文整理出來供各位師生參考.

題目一：自加結論型

已知三角形的三個頂點A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），請自擬結論，使該題成為有意義的問題，并解答該問題.

（1）求AB（或BC、AC）的斜率（或傾斜角）.

解析 KAB==.

（2）求AB（或BC、AC）的距離.

解析 AB==.

（3）求直線AB（或BC、AC）的直線方程.

解析 過A（-5，0），B（3，-3）的兩點式方程為=，即3x+8y+15=0.

（4）求點A到直線BC的距離（或點B到直線AC，點C到直線AB的距離）.

解析 KBC==-，所以BC直線方程為y-2=-x，即5x+3y-6=0，故點A到直線BC的距離為=.

（5）求AB邊（或BC、AC）上中線所在直線的方程.

解析 AB邊中點坐標為（，），即（-1，-），所以所求直線方程為7x-2y+4=0.

（6）求AB邊（或BC、AC）中位線所在直線的方程.

解析 AC中點為（，1），BC中點為（，），所以所求直線方程為6x+16y-1=0.

（7）求AB邊（或BC、AC）中垂線所在直線的方程.

解析 AB中點坐標為（-1，-），斜率為-，所以所求直線為y+=（x+1），即16x-6y+7=0.

（8）求AB邊（或BC、AC）上高線所在直線的方程.

解析 所求直線方程為y-2=x，即8x-3y+6=0.

（9）求△ABC的面積.

解析 BC=，點A到直線BC的距離為，所以S△ABC =××=.

（10）求△ABC的外接圓方程.

解析 BC邊中垂線方程為3x-5y-7=0，AB邊中垂線方程為16x-6y+7=0，聯立兩者方程得外接圓的圓心坐標為(-，-)外接圓半徑為=，故外接圓方程為（x+）2+（y+）2=.

（11）求一點P（x，y），使四邊形ABCP為平行四邊形.

解析 由AC中點與BP中點相同得-=，1=，故x=-8，y=5，所以P（-8，5）.同理還可得P（-2，-5）或P（8，-1）.

（12）求AB關于點C對稱（或AC關于點B對稱，BC關于點A對稱）的直線方程.

解析 A點關于C點的對稱點坐標為（5，4），B關于點C對稱點坐標為（-3，7），所以所求直線方程為=，即3x+8y-47=0.

（13）求以C為圓心，與直線AB相切的圓（或以B為圓心，與直線AC相切；以A為圓心，與直線BC相切）方程.

解析 直線AB方程為3x+8y+15=0，所以點C到直線AB的距離為，故所求圓方程為x2+（y-2）2=.

評析 以上所提的問題基本包括了直線部分的所有知識點，例如斜率、傾斜角、兩點的距離、點到直線的距離、直線的方程、兩直線平行與垂直、直線與圓相切；另有一些問題是從幾何圖形的角度提出的，即三角形的中線、中位線、中垂線、高線、外接圓等.

題目二：自加條件型

已知圓C的圓心在直線x-3y=0上，請加上適當的條件求圓C的方程.

設圓心的坐標為（3a，a），（1）過點A（3，-2）和B（0，1）.

解析 由（3a-3）2+（a+2）2=（3a-0）2+（a-1）2，得a=1，所以圓心坐標為（3，1），半徑r=3，圓方程為（x-3）2+（y-1）2=9.

（2）若圓C方程為x2+y2-（4m+2）x-2my+4m2+4m+1=0.

解析 配方得圓C的圓心坐標為（2m+1，m），其在直線x-3y=0上，所以2m+1-3m=0，m=1，因此圓C方程為x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=9.

（3）與直線x-y=0相切于點P（2，2）.

解析 =-1，a-1，則半徑r==，故圓方程為（x-3）2+(y-1)2=2.

（4）與y軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2.

解析 圓心到直線距離為=a，則圓內垂徑定理得2=2，a=±1，所以圓C的方程為（x-3）2+(y-1)2=9或（x+3）2+(y+1)2=9.

（5）圓的一條直徑AB的兩個端點分別在x軸和y軸上，且過點P（2，2）.

解析 A（6a，0），B（0，2a），因為AP⊥BP，所以·=-1，a=，圓心（，），半徑r=AB=，故圓C方程為（x-）2+（y-）2=.

（6）圓C關于直線x+y+3=0的對稱圓方程是（x+3）2+（y+3）2=25.

解析 由于對稱圓的半徑保持不變，因此圓C半徑為5，圓心（3a，a）關于直線x+y+3=0的對稱點坐標為（-3-a，-3a-3），所以-3-a=-3，且-3-a=-3，故a=0，所以圓C方程為x2+y2=25.

（7）與圓（x+3）2+（y+3）2=25相切于點A（-3，2）.

解析 兩圓圓心與A（-3，2）三點共線，所以圓C圓心為（-3，-1），圓C半徑為5-2=3（因為兩圓內切），故圓C的方程為（x+3）2+（y+1）2=9.

（8）直線x-y=0始終平分圓C，且圓C與直線x+y+3=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，OP⊥OQ.

解析 聯立x-y=0，x-3y=0，得圓C的圓心坐標為（0，0），設圓C方程為x2+y2=r 2，把y=-x-3代入圓C方程整理得2x2+6x+9-r 2=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=-3，x1x2=（9-r 2），y1y2=3（x1+x2）+x1x2+9=（9-r 2），因為OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，則r 2=9，故圓C方程為x2+y2=9.

評析 圓一般由不共線的三點確定，此外其他方法的確定是比較難想的，這就需要我們在平時的學習中注意對問題結構的理解與記憶.思考的方向主要是直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系.

數學開放題是推進素質教育、培養同學們創新精神與發散思維的切入口和有效載體，一定會在各級各類考試中發揮巨大的作用，希望能引起足夠的重視.當然，想要有效地解決該類問題，一定要在平時的學習中注意多訓練、多總結解題的思路.

責任編校徐國堅

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