參數當變量的理念與解題初探

一、把參數當變量的理由

雖然形式上f（x）的自變量明確為x，但是有些函數“真正”原始自變量不是x，而是參數. 例如：二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的變化，不僅直接決定y的數量及形態，還直接決定x，從拋物線的原始含義看，以斜拋運動為例，x=v0cos?茲t，y＝v０sin?茲t?鄄gt２，x、y是平行地位的變量，它們均受v０、?茲、t、g決定，以t為中介，則y＝-x2+tan?茲x，a是v０、?茲、g三個參量映射而得的變量概括，所以a是“真正”的變量. 再如在f（x）=1n（x+a）中，x＞-a，即a決定著x，a自然也決定了f（x）. 因此，把參數當變量的理念就相應地引導出易懂而簡捷的解題方法.

二、參數與自變量地位平行時的運用

例1已知a是實數，函數f（x）=2ax2+2x-3-a. 如果函數y=f（x）在[-1，1]存在零點，求a的取值范圍.

分析 原參考答案（《2007年全國及各省市高考試題全解》人民日報出版社2007年6月第4版）反反復復從a到x再到y中，相互制約和檢驗，這不僅無法在規定時間做出完美的答案，而且對后繼的學習與研究造成邏輯上的混亂，這就有悖于高考題的領引與選拔相統一的原則. 作者“百度”了一年，竟無人問津. 事實上，f（x）在[-1，1]有零點，就轉化為F（x，a）=0. 由x?邛a的映射直接滿足函數的定義，可把a看成函數，即0=2ax2+2x-3-a，轉化成g（x）=a=，x∈[-1，1]. 求a的范圍就是求g（x）的值域，只要明確單調性及區間端點，解得a便一氣呵成.

解析 （1）當2x2-1=0時，即x=±∈[-1，1]，若f（-）=0，--3=0，則a不存在；若f（）=0，-3=0，則a不存在.(這種分步，合情合理，具有虛實相生之妙)

（2）對g（x）的單調性與極值存在的判斷：g ′（x）=，令g ′（x）=0，∵（2x2-1）2＞0，∴4x2-12x+2=0，則x1=∈[-1，1]，x2=?埸[-1，1]（舍去）. 由g′（x）符號及存在圖像得：①當x∈[-1，-）時，g ′（x）﹥0，g（x）?坭 ，∴ g（x）min=g（-1）=5. 當x從-的左側向-無限靠近時，g（x）→+∞，∴ g（x）∈[5，+∞）.

②當x∈（-，）時，g ′（x）=0的零點x1函數左正右負，∴ g（x）max=g（x1）=. 當x分別向-、無限靠近取值時，均有g（x）→-∞，∴ g（x）∈（-∞，].

③當x∈（，1］時， g ′（x）＜0，g（x）↓， g（x）min=g（1）=1. 當x從的右側向無限靠近取值時，g（x）→+∞.

綜上可得a=g（x）∈（-∞，]∪[1，+∞）.

例2已知f（x）=x2+（x≠0，a∈R），若f（x）在x∈[2，+∞）為增函數，求a的取值范圍.

解析f ′（x）≥0，即2x-≥0，x∈[2，+∞）. 這就構成F（x，a）≥0，由x→a的映射滿足函數關系，∴ a≤2x3，x∈[2，+∞）. 又∵ 2x3是增函數，最小值為16，∴a∈（-∞，16].

評析 這樣，從參考答案指向誤區中擺脫出來，從審題到解題操作，有利于加深對函數本質的理解，過程和趨勢整合，把導數工具的靈魂體現得盡善盡美. 這種（a是實在的變量，a是x的函數）觀念的轉變，有利于樹立攻克數學大題信心，解題過程也盡享行云流水般的快感.

三、參數與自變量從屬地位時的運用

例3設函數 f（x）=1n（x+a）+x2，（1）若當x=-1時， f（x）取得極值，求a的值，并討論 f（x）的單調性；（2）若 f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所的極值之和大于1n.

解析（1）略.（2）由定義域，a是最終自變量，與x構成復合關系. 在a→x→y對應關系，若像參考答案，以a入手，一直到滿足f（x）的要求，從邏輯上似乎合理，但這樣導致四次雷同的數學計算和檢驗，無益于數學能力的檢驗與培養. 其實，若堅決貫徹數形結合的基本思想方法，以x為紐帶，即滿足f（x）的要求，又直接制約a數量，克服了原答案由a到y的多環節的問題. 該題主體部位解題如下：

解法（一）：（2）①當a≤0時，f（x）由兩個增函數的合成，在（0，+∞）上為無界增函數，f（x）無極值. 若f（x）存在極值，則須a＞0.

②當f ′（x）=0有一解時，令f ′（x）==0，由定義域x+a＞0，則分子h（x）=2x2+2ax+1=0，則△==0，∴ a=或a=-（由①舍去）.

決定f ′（x）符號函數h（x）=2x2+2x+1，二次項系數大于零，而△=0，僅當時f ′（）=0時，f ′（x）＞0，即零點兩側的導數同號，∴ f（x）在a =時無極值.

③當f ′（x）=0有兩解時，則 x1=；x2=，同時△＞0，∴ a＞，而a ＜-（由①舍）.

由f ′（x）符號變化，f（x）在x1、x2處分別存在極大值與極小值，∴ a∈（，+∞）.

評析一步復合直觀，兩步以為紐帶的討論，即照應習慣，又較簡捷作答，從復合形函數求參數的解題觀念、方法轉變這個意義上看，只是一次部分質變.若以真自變量a為先導直觀判斷，以f（x）特征要求為目標，以x為紐帶數量推演，堅決貫徹數形結合的正確原則，可享有解題過程的快感.

解法（二）：①若起點a≤0，y1=x2、y2=1n（x+1）是開區間無界增函數，則f（x）=y1+y2在定義域內無極值，∴若f（x）有極值，須a＞0.

②y2向左移時，在臨近x=a的右側，f（x）增減性以y2=1n（x+1）為主體的，f（x）?坭. 當某處開始x→+∞時，則f（x）=y1+y2增減性合成?坭. 又因為y1=x2只有一個減增過程，若f（x）有極值，在兩個增區間一定有一個減區間存在. f（x）由?坭?坨?坭構成“N”形函數，題中所有極值一定是兩個，∴ f ′（x）=0一定有兩個不相等的實根.

令f ′（x）==0，x+a＞0，∴ 2x2+2ax+1=0，x1=，x2=. 據f ′（x）符號變化，f（x）在x1、x2存在極值，x1、x2存在的同時，a2-2＞0，∴ a＞，而 a＜-（由①舍）.

綜上，a∈（+∞）.

評析 對于f ′（x）=0解的個數及f ′（x）在解兩側符號變化情況，一方面直接判定極值的存在情況;另一方面，f（x）存在兩個極值（點），由△＞0，a的數量范圍就成了以x為紐帶的副產品.這原本就是導數工具性質的基本思想、方法和技巧，所以在數形結合的原則指導下，以中間變量x為橋梁，邏輯清楚，步驟簡捷，為在規定時間內完整解題，找到了可操作的、快捷而完美的方法.

由于把參數作為變量，宏觀界定了f（x）性態（有無極值及單調性），同時又由x雙向照應，上承f（x）的增減與極值，下達a的地位與數量，用矛盾主要方面的辨證方法，能把變化過程和整體趨勢整合，實現了刪繁就簡.既細致微妙又恢宏灑脫，這正是當代中學數學應有的活力與魅力.

責任編校徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文