數形結合在解題中的應用

著名數學家華羅庚指出：“數缺少形時少直觀，形缺少數時難入微.”這句話說明了“數”和“形”是緊密聯系的.我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質時，又往往離不開“數”.縱觀近年來的高考試題中，融“數”和“形”于一體的試題屢見不鮮.因此，教師在平常教學中要做好“數”與“形”關系的揭示與轉化，幫助同學們通過類比，去發掘、剖析問題中所具有的幾何模型，培養同學們在解決數學問題中熟練運用數形結合的思想方法.

數形結合在解題中應用廣泛，如在解方程和不等式中，在求函數的值域和最值問題中，在求復數和三角函數問題中，都可以充分體現 ，本文就它在數學解題中的應用舉例分析，供同學們參考.

一、數形結合在集合與函數中的應用

例１ 設集合Ｐ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－４＜０｝，Ｑ＝｛ｘ｜ｘ≤ａ｝，（1）若Ｐ∩Ｑ＝?覫，求實數ａ的取值范圍；（2）若Ｐ?哿Ｑ，求實數ａ的取值范圍.

解析 （1）令二次函數y=x2-3x-4<0，如圖，欲要函數值小于零，只需其圖像在x軸下方即可，易得Ｐ＝｛ｘ｜－1

（2）如圖2得用數軸得：當ａ≥４時，Ｐ?哿Ｑ．

點評 涉及二次函數的集合問題是歷年來高考的一個熱點，而解決二次函數的問題數形結合是最有效的方法.當試題中出現一些集合是用區間表示，且有些區間還含有參數，這時我們常常借助數軸來求解，可使問題直觀深刻.

例2 求函數y=+的最小值.

解析 ∵ y=+=+=+.

注意到此時觀察式子結構特點，從而聯想到平面兩點距離公式，其中可以看成x軸上的點（x，０）到點A（1，－2）的距離，可以看成ｘ軸上的點（x，０）到點B（5，－1）的距離. 因此

y=+=+的幾何意義就是x軸上的點（x，０）到A、B兩點的距離之和， ∴ 求y=+的最小值就是求x軸上的點到A、B兩點的距離之和的最小值. 如上圖，作A（1，－2）關于x軸的對稱點A′B（1，2），根據平面幾何知識，A′B就是所求的最小值，易知：ymin=A′B=＝５.設P的坐標為（x，0），則由＝，得x＝，所以當x＝時，ymin=5.

點評 此類題若純粹用代數方法求解簡直無從下手，但若將它改成求到兩點之間的距離和與差的形式，賦予其幾何意義，就簡單明了，也可變式為求y=－的最大值.此解法巧妙運用數形結合的思想，思路較為直觀易懂，更能體現數學的美感．

二、數形結合在三角函數中的應用

例3 已知：ｓｉｎ?琢＋ｓｉｎ ?茁＝，ｃｏｓ?琢＋ｃｏｓ ?茁＝，求ｔａｎ（?琢＋ ?茁）的值．

解析 ∵點Ａ（ｃｏｓ?琢，ｓｉｎ?琢），Ｂ（ｃｏｓ ?茁，ｓｉｎ ?茁）均在單位圓上． 由已知條件知：Ａ、Ｂ的中點坐標為Ｃ（，），即直線Ａ、Ｂ過定點Ｃ．如右圖所示∠xOC＝＋?琢＝，∴ ｔａｎ（）＝ｋｏｃ＝，∴據倍角公式得ｔａｎ（?琢＋ ?茁）＝.

點評 在三角問題中利用單位圓是常見的研究方法．將代數、幾何與三角有機聯系起來，綜合運用，在解三角變換題中，不僅構思精巧，過程簡易，趣味橫生，而且還溝通數學知識的縱橫關系，也有利于多向探求，廣泛滲透，提高和發展同學們的創造性思維能力．

例4 求函數y=的最大值和最小值.

解析 聯想斜率公式k=，將原式變形為=，則求y的最值可轉化為求點（sinx，cosx）和點（－2，0）的連線斜率范圍.設點P（sinx，cosx），Q（－2，0），則可看成單位圓上的動點P點Q連線的斜率，如圖：設直線OP1是方程為y=k（x+2），即kx－y+2k=0，則圓心（0，0）到它的距離d==1，解之得k1=-或k2=，所以-≤≤，即-1≤y≤1，故ymax=1，ymin=-1.

點評 此題函數形式類似于斜率公式，可構造圖形，得出過圓外的定點的直線與圓相切問題，這里的k值亦可由tan∠P1QO=-tan∠P2QO===求得.

例5 已知銳角?琢，?茁，?酌，滿足cos2?琢+cos2?茁+cos2?酌=1，求證:tg?琢tg ?茁tg?酌≥2.

解析 此題可聯想到長方體對角線與三條棱所成角的性質，可構造長方體，設三度長分別為a、b、c，且交于頂點B的三棱與對角線的夾角分別為?琢、?茁、?酌，于是，原有三角函數不等式轉化為代數不等式，即tg?琢tg ?茁 tg?酌=··≥··=2.

點評 此類題通過構造圖形不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程，本題體現了以立體幾何助數的簡潔性.

三、數形結合在解方程中的應用

例6 已知x、y、z為正數，且x2+y2+xy=1，z2+y2+zy=4，x2+z2+xz=3，求x+y+z的值.

解析 注意到三個方程的結構類似余弦定理（分別視“1”，“3”，“4”為“12”，“（）2”，“22”）如：a2=b2+c2-2bccosA，只要分別令其中的兩邊夾角為120°即可. 原方程組即x2+y2-2xyCOS120°=12…（１）z2+y2-2xyCOS120°=２2…（２）x2+z2-2xyCOS120°=（）2…（３）ｘ，ｙ，ｚ＞０…（４）

構造圖形如上，注意到S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA，且AB2+AC2=BC2，∴△ABC是Rt△，故··1=（xy·+yz·+zx·），即xy+yz+zx=2…（5），把各方程相加，得2（x2+y2+z2）+（xy+yz+zx）=8.把（5）代入，解得：x2+y2+z2=3…（6）.又（x+y+z）2=（x2+y2+z2）+2（xy+yz+zx），∴（x+y+z）2=3+2×2=7. ∵ x、y、z＞0，∴ x+y+z=.

點評 此題解法關鍵是求出xy+yz+zx，若用純代數解法是極困難的，但構造三角形運用余弦定理便迎刃而解，充分體現了以平面圖形助數的實效性．

例7 方程=k（x-2）+2在區間［０，２］上有解，則實數ｋ的取值范圍是__________.

解析 分別作出ｙ１＝（（ｘ－１）２＋ｙ２＝１（ｙ≥０））與ｙ２＝k（x-2）的圖像如右圖，ｙ１為圓心為（１，０）半徑為1的上半圓；ｙ２為過（２，２）點斜率為1的直線.當圓與直線相切時，有＝１，得ｋ＝，結合圖形知ｋ∈（，１］為所求.

點評 加強數形結合意識，做到腦中有圖，借助方程的曲線，將圖形性質與數量關系相結合可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到化難為易，起到事半功倍的效果.

四、數形結合在不等式中的應用

例8 若不等式｜x｜＜１成立時不等式［ｘ－（ａ＋１）］［ｘ－（ａ＋４）］＜０也成立，求ａ的取值范圍．

解析 Ａ=｛ｘ||ｘ|<1｝＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ＋１＜ｘ＜ａ＋４｝，依題意，有Ａ?哿Ｂ，在數軸上做出包含關系圖形，有ａ＋１≤-1，ａ+4≥1，解得-3≤a≤2．

點評 解決不等式解集的子集、交、并、補問題時，要結合數軸，直觀理解，應特別關注端點的處理．

例9 設函數f（x）＝aｘ2+8x+3（a<0），對于給定的負數a，有一個最大的正數l（a），使得在整個區間［０，l（a）］上，不等式｜ f（x）｜≤５都成立. 問a為何值時l（a）最大？求出這個最大的l（a），證明你的結論.

解析 由f（x）＝a（x+）2+3-，∵a<０，∴f（x）max=3-.

（1）當3->５，即－８

（2）當3-≤５，即a≤－８時，l（a）>－，（如圖２）∴l（a）是方程aｘ2+8ｘ+3＝－５的較大根l（a）＝＝≤=，當且僅當a＝－８時等號成立，由于>，因此，當且僅當a＝－８時，l（a）取最大值.

點評 本題是典型的函數、方程、不等式的綜合問題，數形結合利于開拓思路，解題過程清晰易懂，能夠快速地找到解決問題的辦法.

例10 某廠擬生產甲、乙兩種促銷產品，每件銷售收入分別為3千元、2千元.甲、乙產品都需要在A，B兩種設備上加工，在每臺A，B上加工一件甲所需工時分別為1小時、2小時，加工一件乙所需工時分別為2小時、1小時，A，B兩種設備每月有效使用臺時數分別為400和500，如何安排生產可使收入最大？

解析 設甲、乙兩種產品的產量分別為x，y，則約束條件是x+2y≤400，2x+y≤500，x≥0，ｙ≥0，目標函數是z=3x+2y.要求出適當的x，y，使z=3x+2y取得最大值.如右圖，先畫出可行域，考慮3x+2y=z，z是參數，將它變形為y=-x+，這是斜率為-，隨z變化的一族直線. 是直線在y軸上截距，當最大時，z最大，當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時，目標函數z=3x+2y取得最大值.容易求得兩直線2x+y=500與x+2y=400的交點是（200，100），即安排生產甲產品200件、乙產品100件，可使收入3x+2y取得最大值.

點評 此問題的數學模型是二元線性規劃.為此，需要確定線性約束條件和線性目標函數. 由于所得到的約束條件及目標函數均為關于x，y的一次式，使用圖解法求解.

例11 設f（x）=，a，b∈R，且a≠b，求證：| f（a）-f（b）|<|a-b|．

解析 將，分別看做兩直角三角形的斜邊，于是可以構造圖．設Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，則PA＝． 在Rt△POB中，OB＝b，則PB=． 在△PAB中，|PA-PB|<|AB|，于是可得| f（a）-f（b）|

<|a-b|（當a

點評 此類題若用代數法，需要平方若干次，出現高次不等式，計算量大，費時費力．如果觀察題結構特征聯想到相應的幾何圖形，此題也可用放縮法證明，同學們自己去完成.

五、數形結合在數列中的應用

例12 若數列｛ａｎ｝的通項公式為ａｎ＝，則數列的最大項為第_____項，最小項是第_____項.

解析 作出函數f（x）==1+（）的圖像，結合４４２＜２００９＜４５２，知ａ４４最小，ａ４５最大.

點評 關于數列求最大、最小項問題常轉化為函數問題，利用函數圖像性質來處理更為簡單明了，本題中的分式函數的對稱中心及單調性是解決問題的關鍵，考查了數列中的函數與數形結合思想.

六、數形結合在復數中的應用

例13 已知|z1|=1，|z2|=，|z1-z2|=2，則|z1+z2|=____.

解析 在復平面內，作與z1，z2，z1+z2，z1-z2對應的向量，由復數的加減法的幾何意義可知，|z1|，|z2|，|z1+z2|，|z1-z2|分別是平行四邊形的兩邊及兩條對角線，由于在平行四邊形中，四條邊的平方和等于二條對角線的平方和，可得：2（|z1|2+|z2|2）=|z1+z2|2+|z1-z2|2，再由已知條件得2（1+3）=22+|z1+z2|2?圯|z1+z2|=2.

點評 本題通過聯想，借助復數的幾何意義，把求值問題轉化為一個簡單的幾何問題，解法獨特新穎.本題也可通過平方用代數法處理，同學們不妨試一下，然后比較兩法的優劣之處.

例14 已知|z|=1，求u=|2zi-5+4i|的最值．

解析 分析得：u=|2i|·z+i+2，因此，u表示單位圓|z|=1上的點z與點A（－2，－）的距離的兩倍．由幾何知識知，|AB|、|AC|分別是最小值、最大值，即得：umax=2|AC|=2（｜ＯＡ｜＋｜ＯＣ｜）＝＋２，umin＝2|AＢ|=2（｜ＯＡ｜－｜ＯＢ｜）＝－２.

通過以上例題可看出，數形結合思想方法可以使某些抽象的代數問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，其實質就是“數中思形，以形助數”．它使很多代數問題迎刃而解，且解法簡捷.同學們平時應加強這方面的訓練，在做題中要注意培養這種思想意識，要做到“胸中有圖，見數思圖”，以開拓自己的思維視野，從而提高自己的解題能力．

責任編校徐國堅

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