立體幾何考點(diǎn)探析

立體幾何是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一．從近幾年高考試卷來(lái)看，題量最少的也要有一大一小兩道題．特別是立體幾何試題難度中等，大題分步設(shè)問(wèn)，層次分明，使得不同層次的同學(xué)都可得到一定的分?jǐn)?shù)，因而立體幾何成為歷年數(shù)學(xué)高考中的“兵家必爭(zhēng)之地”． 本文就通過(guò)對(duì)2008年高考中立體幾何的六大類問(wèn)題進(jìn)行剖析，進(jìn)而探索此章節(jié)的考點(diǎn)以供大家參考．

一、線線，線面，面面位置關(guān)系問(wèn)題

公理、定義、定理、概念和性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，高考主要通過(guò)以上知識(shí)考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與運(yùn)用能力．

例1 （2008年安徽卷文/理）已知m，ｎ是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）

A． 若m∥，n∥，則m∥n

B． 若⊥，⊥，則∥

C． 若m∥，m∥，則∥

D． 若m⊥，n⊥，則m∥n

分析 從平行、垂直的性質(zhì)、定理出發(fā)逐一判定或借助于具體模型逐一檢驗(yàn)．

解析 利用正方體模型，如圖，知A、B、C為假命題；對(duì)D，垂直于同一平面的兩直線平行，知其為真命題，選D．

評(píng)注 線線，線面，面面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理，是解決此類問(wèn)題的依據(jù)，實(shí)物的演示，構(gòu)造特例法是常用方法．

二、平行、垂直的證明問(wèn)題

空間平行問(wèn)題主要包括線線平行、線面平行和面面平行；空間垂直問(wèn)題主要包括線線垂直、線面垂直和面面垂直．同學(xué)們要熟練掌握下面兩個(gè)相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線平行線面平行面面平行，線線垂直線面垂直面面垂直．

例2 （2008年江蘇卷）如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：

（1）直線EF//平面ACD；

（2）平面EFC⊥平面BCD．

分析 第（1）問(wèn)根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線和直線EF平行即可；第（2）問(wèn)，需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線和另一個(gè)面垂直，由線面垂直推出面面垂直．

證明 （1）∵ E，Ｆ分別是ＡＢ，ＢＤ的中點(diǎn)，∴ ＥＦ是△ＡＢＤ的中位線，∴ＥＦ∥AD．∵ ＥＦ面ACD，AD面ACD，∴直線ＥＦ∥平面ACD．

（2）∵AD⊥BD，ＥＦ∥AD，∴ＥＦ∥BD． ∵CB=CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD．又EF∩CF=F，∴BD⊥平面EFC． ∵BD平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD．

評(píng)注 解答證明題時(shí)，敘述要簡(jiǎn)明，推理要嚴(yán)密，應(yīng)用定理要注意把條件說(shuō)全，再下結(jié)論．

三、空間角的計(jì)算問(wèn)題

空間角主要是研究異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角以及二面角的平面角等問(wèn)題．求解空間角有兩種方法：一種是立體幾何法，一種是向量法．一般情況下，當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系比較困難時(shí)，宜采用立體幾何法；當(dāng)有交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直時(shí)，較易建立空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)宜采用向量法，從而達(dá)到“幾何問(wèn)題代數(shù)化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化”的目的．

1． 異面直線所成的角．

例3 （2008年安徽卷/文）如圖，在四棱錐O－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ＡＢＣＤ，OA=2，M為OA的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離．（解答見(jiàn)例6）

分析 可直接通過(guò)平移把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的角進(jìn)行求解．

解析 ∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補(bǔ)角）． 作AP⊥CD于P，連接MP． ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP． ∵∠ADP=，∴DP=．

∵M(jìn)D==，∴cos∠MDP==，∠MDC=MDP=．

∴ AB與MD所成角的大小為．

評(píng)注 首先利用平移法找（作）出兩異面直線所成的角，再根據(jù)定義證明所找（作）之角就是符合題設(shè)條件的角，然后通過(guò)解含所求之角的三角形即可求出所求角.

2． 直線與平面所成的角．

例4 （2008年全國(guó)Ⅰ卷文/理）已知三棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，Ａ１在底面ＡＢＣ內(nèi)的射影為△ＡＢＣ的中心，則ＡＢ１與底面ＡＢＣ所成角的正弦值等于（）

A． B． C． D．

分析 設(shè)△ＡＢＣ的中心為O，點(diǎn)Ａ１、Ｂ１到底面ＡＢＣ的距離相等，則點(diǎn)Ｂ１到底面ＡＢＣ的距離就是求Ａ１O(jiān)．

解析 由題意知三棱錐Ａ１—ＡＢＣ為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為a，則ＡＢ１=a，棱柱的高Ａ１O(jiān)===a（即點(diǎn)Ｂ１到底面ＡＢＣ的距離），故ＡＢ１與底面ＡＢＣ所成角的正弦值為=，選B．

評(píng)注 直線與平面所成的角實(shí)際上是直線與其平面上的射影的角．

3． 二面角．

例5 （2008年湖南卷/文）如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=．

（I）證明：平面PBE⊥平面PAB；（證明略）

（II）求二面角A—BE—P的大小．

分析 要求二面角A—BE—P的大小，需要證明（作）出一個(gè)二面角A—BE—P的平面角． 根據(jù)二面角的平面角的定義，易知∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

解析 （II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE． 又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角． 在Rt△PAB中，tan∠PBA==，∠PBA=60°，故二面角A—BE—P的大小為60°．

評(píng)注 本題雖可以建立空間直角坐標(biāo)系，但AB不垂直于AD，因此建系后各點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算相對(duì)繁瑣，同學(xué)們不妨試一試．相反，由于本題解答中所涉及的空間作圖直觀又容易，因此我們可不選擇建立空間直角坐標(biāo)系的方法去解題比較恰當(dāng)．

四、空間距離的計(jì)算問(wèn)題

空間的距離問(wèn)題， 主要包括點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、異面直線間的距離、平行的直線與平面間的距離以及兩平行平面間的距離，其中以點(diǎn)到平面的距離為重點(diǎn)．求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，應(yīng)注意三垂線定理、“等體積法”和向量法的應(yīng)用．

例6 （2008年安徽卷/文）如圖，在四棱錐中O—ABCD，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；（解答見(jiàn)例3）

（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離．

分析 直接作（找）出點(diǎn)B到平面OCD的垂線段較繁瑣，直接建立空間直角坐標(biāo)系借助法向量求解．

解析 作AP⊥CD于點(diǎn)P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x， y， z軸建立坐標(biāo)系，則A（０， ０， ０），Ｂ （１， ０， ０），Ｐ （０， ， ０），Ｄ （－ ， ， ０），O（０，０，２），Ｍ（０，０，１），∵ =（０， ， -2），=（ -，，-2），∴設(shè)平面OCD的法向量為=（x， y， z），則· ＝０，

· ＝０，

即y－2 z＝０，-x ＋y －2 z＝０，取z＝，解得＝（ ０，４，）．

設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，則d為在向量=（ ０，４，）上的投影的絕對(duì)值，∵=（ 1，0，-2），∴ d==，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為．

評(píng)注 設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為d，點(diǎn)A是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則d=（即在平面法向量上的射影長(zhǎng)）．利用法向量可求點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離、兩異面直線間的距離． 求點(diǎn)到平面的距離，即求過(guò)該點(diǎn)的某一斜線的長(zhǎng)和斜線與該平面的法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值的乘積；求直線到與它平行平面的距離和求兩個(gè)平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求；求兩異面直線間的距離，可先求得兩直線的公共法向量，然后在兩直線上各取一點(diǎn)，求出過(guò)這兩點(diǎn)的向量在法向量上的射影長(zhǎng)就是兩異面直線間的距離．

五、體積、表面積問(wèn)題

求幾何體的體積、表面積是立體幾何的重要題型，解決這類問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)：①有關(guān)線面關(guān)系的論證；②方法的運(yùn)用；③正確使用公式．

例7 （2008年山東卷文/理）下圖是 一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）

A． 9 B． 10

C． 11 D． 12

分析 利用三視圖的原理不難得到該幾何體是球和圓柱的組合體．

解析 從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的，其表面及為S=4×12+×12×2+2×1×3=12， 選D．

評(píng)注 三視圖雖然是新教材的新內(nèi)容，但已成為近幾年來(lái)命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一．

例8 （2008年寧夏海南卷/文） 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面． 已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為_(kāi)________．

分析 因?yàn)樵摿庵鶅?nèi)切于球，因此球的直徑就是該六棱柱的軸截長(zhǎng)方形的對(duì)角線．

解析 ∵正六邊形周長(zhǎng)為3，得邊長(zhǎng)為，故其主對(duì)角線為1，從而球的直徑2R=＝２，∴ Ｒ＝１，∴球的體積Ｖ＝．

評(píng)注 球是最常見(jiàn)的幾何體，在歷年的高考題中，常常涉及到球的問(wèn)題．球的表面積、體積及基本性質(zhì)是解決有關(guān)問(wèn)題的重要依據(jù)，它的軸截面圖形、球半徑、截面圓半徑、圓心距所構(gòu)成的直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要切入點(diǎn)．

六、最值問(wèn)題

立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，與空間圖形有關(guān)的線段、角、體積等最值問(wèn)題常常在試題中出現(xiàn)．

例9 （2008年寧夏海南卷/理）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為（）

A． 2 B． 2

C． 4D． 2

分析 利用三視圖的原理得出，a，b的關(guān)系式，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求解．

解析 由三視圖的定義，棱長(zhǎng)為的棱作為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，，a，b為該長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面的面對(duì)角線長(zhǎng)，則a2 + b2 +（）２ =２（）２，即a2 + b2=8，又≤=2，所以a+b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立，選C．

評(píng)注 解決本題的關(guān)鍵在于：（1）正確得到a和b的關(guān)系式；（2）不等式≤的應(yīng)用．

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文