解析一道數(shù)學(xué)高考題的思維價(jià)值

摘 要：高考中的創(chuàng)新試題不但能有效地考查考生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，而且能反映考生的思維水平，在教學(xué)活動(dòng)中要充分利用這一寶貴的資源。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新能力 應(yīng)用能力 思維價(jià)值

在能力立意、重點(diǎn)考查理性思維的高考命題原則指導(dǎo)下，每年的高考數(shù)學(xué)試卷中都會(huì)出現(xiàn)一定數(shù)量的創(chuàng)新試題，考查考生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，給數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的考生提供展示能力的空間，體現(xiàn)高考的公平性和選拔性特點(diǎn)。這類新穎試題不但具有較好的考試功能，而且具有較高的思維價(jià)值，為教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)提供了豐富的教學(xué)資源。2008年上海春季招生數(shù)學(xué)高考試卷第10題就是一道優(yōu)秀的創(chuàng)新試題，筆者對(duì)其思維價(jià)值作一粗淺探索，供同仁參考。

題目：古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。”將五種不同屬性的物質(zhì)排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A出現(xiàn)的概率是?搖?搖?搖?搖?搖?搖（結(jié)果用數(shù)值表示）。

一、探索解題的切入點(diǎn)，培養(yǎng)思維的廣闊性、思維的敏銳性和思維的嚴(yán)密性

初見題目，學(xué)生往往感到似曾相識(shí)，對(duì)大腦中儲(chǔ)存的信息：接觸過的類似題型、相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)方法等等進(jìn)行迅速的搜索，希望盡快找到解題的切入點(diǎn)，從而培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性和思維的敏銳性。要解決這樣一個(gè)實(shí)際問題，到底應(yīng)從何處入手？采用什么方法？部份接觸過往年高考試題的學(xué)生會(huì)很快聯(lián)想到1993年全國(guó)高考卷數(shù)學(xué)（理）的第17題：

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有?搖?搖?搖?搖?搖?搖。

A. 6種B. 9種C. 11種 D. 23種

兩道題目一樣嗎？仔細(xì)考慮，要求完全不一樣，“送賀卡”一題要求自己不送自己，而今年的高考題要求相克的兩元素不能相鄰。但又有可借鑒之處，在解“賀卡”題時(shí)，用的方法是用“數(shù)字化”建立數(shù)學(xué)模型，問題轉(zhuǎn)化成：“由1、2、3、4四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，其中1不能在第一位，2不能在第二位，3不能在第三位，4不能在第四位的四位數(shù)共有多少個(gè)？”由此得到啟示，找到了解題的切入點(diǎn)。本題也可以用“數(shù)字化”建立起數(shù)學(xué)模型，用1、2、3、4、5分別代表金、木、土、水、火，將這五個(gè)數(shù)字按順序?qū)懺谝粋€(gè)五邊形上的五個(gè)頂點(diǎn)的小圓圈內(nèi)，如圖1。

則原問題就轉(zhuǎn)化為：“由1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)中，事件A表示其中五邊形中五個(gè)頂點(diǎn)中任意相鄰兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的五位數(shù)，則事件A的概率是?搖?搖?搖?搖?搖?搖。” 而關(guān)鍵是求出滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)。

二、探索解題的具體過程，訓(xùn)練思維的靈活性、深刻性、嚴(yán)密性

思路一：從最原始的方法入手，畫樹圖。先確定首位，可以為1、2、3、4、5，有5種不同的方法。當(dāng)首位為1時(shí)，第二位只能填3或4，而3后面不能填左右兩數(shù)，所以只能填5；4后面不能填其左右兩數(shù)，只能填2（如圖2）。

又因5后面不能跟4，只能跟2；2后面不能跟3，只能跟5，所以后面填下去都只有一種方法，即滿足條件的五位數(shù)只有2個(gè)：13524，14235（如圖3）。

由于1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字在五邊形五個(gè)頂點(diǎn)上的地位是平等的，滿足條件的五位數(shù)共有2×5=10個(gè)，事件A的概率P(A)= = = 。

思路二：對(duì)思路一的改進(jìn)。由于思路一從首位分析考慮，每一步只能對(duì)邊上的一個(gè)位置定數(shù)，若改從中間位置入手考慮，一次可確定左右兩個(gè)位置上的數(shù)，填數(shù)的方法：先確定中間一位上的數(shù)字，當(dāng)中間填1時(shí)，左右兩邊不能填2和5，只能填3和4，所以只有兩種可能（如圖4）

剩下的5和2兩個(gè)數(shù)字也都只有一種填寫法，如圖5：

同理，五個(gè)頂點(diǎn)上的五個(gè)數(shù)字地位是平等的，所以滿足條件的五位數(shù)共有10個(gè)，事件A的概率P（A）= ，這樣可以大大縮短思維的路徑。

思路三：再仔細(xì)思考，要組成滿足條件的數(shù)，實(shí)際上只需從五個(gè)頂點(diǎn)中的任一個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字出發(fā)，按隔一位的路線走下去，最后回到原來出發(fā)點(diǎn)，這樣一條線路上的五個(gè)數(shù)字正好構(gòu)成滿足條件的一個(gè)五位數(shù)，也就是用一筆畫畫五角星的一條路徑所經(jīng)過的五個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字構(gòu)成的五位數(shù)，如圖6從數(shù)字1出發(fā)，按路徑：1→4→2→5→3→1，及逆向路徑：1→3→5→2→4→1所得到兩個(gè)滿足條件的五位數(shù)14253和13524，這樣可以從五個(gè)不同頂點(diǎn)出發(fā)，共可組成10個(gè)，所以事件A的概率為P（A）= 。

除了上述三種方法外，其它的方法大同小異。而這些思路、方法的探索過程中，可以有效地訓(xùn)練思維的靈活性、深刻性和嚴(yán)密性。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”