數學形態學研究現狀及其應用

摘 要：數學形態學是圖像處理與分析的重要數學工具，已在計算機視覺、信號處理、圖像分析、模式識別等領域得到了廣泛的應用并且覆蓋了圖像處理的幾乎所有內容，包括圖像分割、特征提取、邊緣檢測、圖像濾波、圖像增強和恢復等。本文對數學形態學及其研究現狀進行了分析，希望能對我們了解和認識數學形態學有所幫助。

關鍵詞：數學形態學 研究現狀 二值形態學 灰值形態學

一、數學形態學及其基本運算

1.數學形態學(Mathematical Morphology，簡稱形態學)是研究數字圖像形態結構特征的理論，它通過對目標圖像的形態變換實現結構分析和特征提取。數學形態學是一門新興學科。數學形態學以嚴格的數學理論和集合理論為基礎，著重于研究圖像的集合結構，形態學對圖像的處理基于結構元素(structure element)的概念，而且結構元素的選擇和圖像的某種特有信息有密切的關系，所以構造不同的結構元素可提供不同的圖像分析和處理方法，數學形態學中的集合表示圖像中的特定信息。

2.數學形態學的基本運算方式是指導數學形態學進行運算處理的基本方法，目前主要有：（1）腐蝕，腐蝕是數學形態學最基本的運算；（2）膨脹(dilation)，可以看作是腐蝕的對偶運算；（3）開運算，先腐蝕后膨脹稱為開運算(open)；（4）閉運算，既先膨脹后腐蝕稱為閉運算(close)。以上數學形態學的基本運算方式是指導數學形態學發展和進行相關處理的基本方式。

二、數學形態學的理論基礎

1.二值形態學。二值形態學是針對二值圖像的數學形態學。它由腐蝕、膨脹、開和閉四種本運算組成，幾乎所有的形態學運算的實用算法都是由這四種基本運算發展來的。二值設集合A=(xE X=Z. XZ- : f(x)=1)，集合B=ZZ是一類特殊的樣板，稱之為結構元素，則A被B腐蝕，表示為A?莓B，二值數學形態學的第二個基本運算是膨脹。集合A被結構元素B膨脹定義為：A.B=U{B+a:a E A)膨脹是腐蝕運算的對偶運算(逆運算)，可以通過對補集的腐蝕來定義，可以證明，A?茌B=[AcΘB]c，其中，Ac表示A的補集。開運算及其對偶——閉運算，它們是腐蝕和膨脹運算的復合，利用結構元素B對集合A作開運算，用符號A-B表示，其定義為:A?莓B=（AΘB）?茌B閉運算是開運算的對偶運算，定義為先作膨脹后作腐蝕運算。利用B對A作閉運算表示為AcB，其定義為: A·B=（A?茌B）ΘB。

2.灰值形態學討論的是形態算子作用于灰度圖像的情況。灰值形態學中對應的運算為極小和極大運算。給定兩個數字圖像f和g，極小(n)和極大(V)運算分別定義為(其中，D[f]，D[g] c Z，分別是f和g的定義域):

(f∧g)(x)=min{f(x)，g(x)}，x∈D[f]∩D[g]

(f∨g)(x)=max{f(x)，g(x)}，x∈D[f]∪D[g]

三、數學形態學研究現狀

1982年Serra的專著《Image Analysis and MathematicalMorphology》是數學形態學發展的重要里程碑，它的問世使數學形態學為國際學術界所知，在圖像處理、模式識別和計算機視覺等領域受到了廣泛的重視。進入90年代以來，數學形態學圖像處理的魯棒性和抗干擾能力是研究的重要方面，數學形態學與人工智能領域中一些軟計算方法的結合是研究思路之一。具體的，1991年Koskinen等提出了一種數學形態學方法——軟數學形態學；1992年，Sinha和Dougherty將模糊數學引入數學形態學領域，形成了模糊數學形態學 (Fuzzy MathematicalMorphology) ；1998年，Gasteratos等將模糊集合理論應用到軟數學形態學，提出了模糊軟數學態學 (Fuzzy soft mathematical morphology)等。

四、 數學形態學應用研究

1.數學形態學在圖象處理中的應用

數學形態學主要研究圖像的形態特征，它用一整套概念、變換和算法來描述圖像的基本特征和基本結構，也就是描述圖像中元素與元素、部分與部分間的關系。傳統的圖像處理理論以解析方式描述算子的性能，而數學形態學算子的性能主要以幾何方式進行描述，幾何描述的特點使得形態學更適合視覺信息的處理和分析。數學形態學的理論包含內容十分廣闊。特別是傳統圖像處理中的線性算子和非線性算子均是形態學算子的特例。這個說明數學形態學是一個圖像處理的統一理論，是對傳統理論的推廣，有助于我們從不同的側面更深入地了解經典算法的性質并在更廣泛的范圍內，以更靈活的方式對它們進行改進。最初，由Matheron和Serra提出的數學形態學以二值圖像為研究對象，稱為二值形態學;此后，Serra和Sternberg等借助于傘理論，把二值形態算子推廣到灰度圖像，使灰度形態學的理論和應用研究也得到很大的發展，灰度形態學己經成為數字圖像處理和計算機視覺領域中的一種有效方法。目前，數學形態學已經成為圖像處理理論的一個重要方面，它被廣泛地應用到圖像處理的很多領域中，這些領域涉及醫學成像、顯微鏡學、生物學、機器人視覺、自動字符讀取、金相學、地質學、冶金學、遙感技術等。在這些領域中，利用數學形態學可以對圖像進行增強、分割、邊緣檢測、結構分析、形態分析、骨架化、組分分析、曲線填充、圖像壓縮等等各種各樣的處理。

2.數學形態學在語音增強中的應用

噪聲信號的濾波是信號處理的基本任務之一，過去這一任務主要由線性濾波器來完成，但線性濾波不能有效地抑制各種噪聲，且不利于信號邊緣等細節特征的保持，因而，近年來的噪聲信號恢復問題主要采用非線性濾波器來處理。形態濾波器是從數學形態學中發展出來的一類新型非線性濾波器。在諸多種類的非線性濾波器中，形態濾波器最具代表性，其不僅具有計算簡單并行快速的特點，而且作為以數學形態學為理論基礎的有發展前途的一種濾波器，其一直受到國內外學者的廣泛認可。

參考文獻：

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[2]付永慶，王詠勝.一種基于數學形態學的灰度圖像邊緣檢測算法.哈爾濱工程大學學報，2005年第5期.

[3]王志勇，路向陽.基于數學形態學的圖像空穴檢出.昆明理工大學學報(理工版)，2005年第1期.