數列的求和

一、數學思想

等差數列、等比數列是兩種最基本最常見的兩種數列，而方程思想、函數思想、化歸思想、整體思想、分類討論等數學思想在數列中求和中應用非常廣泛，尤其是運用化歸的思想將問題轉化為等差等比數列問題來研究是解答數列綜合問題最基本的思維方向。

二、方法與技巧

1. 倒序相加法：用于等差數列、與二項式系數相關聯的數列的求和。

例1：數列{a }是等差數列，其前n項和為S ，求證：S = 。

證明：∵數列{a }是等差數列，

2. 錯位相減：用于等比數列、等差數列與等比數列的積數列的求和。

例2：已知數列（a ）為等比數列，其公比為q，求證：其前n項和S 為

小結：在利用錯位相減求數列的和時，一般是將所求和的式子看作等式，然后在等式的兩邊同乘一個適當的數后使所求和的式子變為與等差、等比數列前n項和有關的式子，從而利用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。

例4：在等差數列{a }中，a =1，前n項和S 滿足S /S =4n+2/n+1。

(1)求數列{a }的通項公式；

(2)記b =a ·p (p＞0)，求數列{b }的前n項和T 。

解：（1）設等差數列{a }的公差為d，由條件知S =a =1，S =3S =3

反思：分類討論思想在本例中得到充分體現，在求等比數列前n項和時一定要分q=1和q≠1兩種情況來考慮。

3. 分組求和：設{b }，{c }，{d }的前n項和分別為B ，C ，D ，數列{a }滿足a =b +c +d (n∈N )，則{a }的前n項和S =B +C +D 。這種求數列和的方法稱為分組求和。此法常用于若干個等差數列與等比數列的和數列的求和。

例5：（1）數列{（-1） ·n}的前n項和為S ，求S 。

(2)求數列{（2n-1）+ }的前n項和S 。

解：（1）S =-1+2–3+4–5+……+2004-2005+2006-2007

反思：對所求數列中各項通過重新分組（拆項、并項）后使所求數列變為等差或等比數列進行求解。

4. 拆項相消法：常用的拆項公式有

以上是筆者在平時教學中的一點心得體會，還望同行與專家批評指正。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”