數學教學方法與能力培養

摘要： 數學是研究空間形式和數量關系的科學，數學能夠處理數據、觀測資料、進行計算、推理和證明，可提供自然現象和社會系統的數學模型。學生的思維能力與其應用數學的能力有著直接的關系，而學生思維能力的培養與教師的教學方法又密不可分。

關鍵詞： 數學 教學方法 思維能力

在數學教學中對學生能力的培養是多方面的，如培養正確迅速的運算能力、分析問題的能力、解決問題的能力、邏輯思維的能力、空間想象能力，對問題的理解能力、觀察能力、記憶能力、判斷能力、綜合歸納能力、自學能力等，這些與教師的教學方法有直接的關系，而教學方法又是多種多樣的，從傳統的“啟發式”到現在的“發現式”以及關于認識結構理論發展階段理論、設計教學法對學生能力的培養都有積極的作用，好的教學方法是學生獲取知識并將知識轉化為能力的橋梁。因此對教學方法的探討與研究對學生能力的培養和教學質量的提高無疑有著十分重要的作用。如果把各種教學方法根據實際情況恰當地互相配合，互相滲透，揚長避短，那么效果一定會更佳。

一、用逆向思維法培養學生能力

逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，發現新思想，創立新形象。當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維。例如“司馬光砸缸”，有人落水，常規的思維模式是“救人離水”，而司馬光面對緊急險情，運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。與常規思維不同，逆向思維是反過來思考問題，是用絕大多數人沒有想到的思維方式去思考問題。運用逆向思維去思考和處理問題，實際上就是以“出奇”去達到“制勝”。因此，逆向思維的結果常常會令人大吃一驚，喜出望外，別有所得。

在客觀世界中，數學問題與其他問題一樣均有順逆關系，逆向思維方法一般由結論出發，執果索因，追溯使結論成立的條件，這種思維方法不僅可探測某些問題的解題方向，找到解題捷徑，還可以加深概念的理解，尋求出新的規律。例如在研究函數解析式時，一般是先給出解析式，再描繪出它的圖象，而在現實生活中某些問題是先有圖象，再從圖象中去找出它的解析式。又如已知一個一元二次方程無解，在無解的條件下求出這個一元二次方程。如果這種教學方法反復運用，對學生能力的培養有著毋庸質疑的積極作用。現舉簡單的直線圖形來求解該函數的解析式。

例1.已知如下圖，試求出該函數的解析式。

分析：先將直線l l 的方程求出，再根據圖象在x軸上方，按圖中所給條件即可寫出圖象所對應的解析式。

解：根據直線方程的兩點式 =

將B、P點的坐標和A、P點的坐標分別代入上式，可得直線方程分別為

l ：y=3-x且x≤3

l ：y=x-3且x＞3

將以上兩式合并寫成為y=|x-3|，x∈R，此解析式即為所求。

例2.已知如下圖，試寫出該圖象所對應的函數解析式。

解：①過點B（3，2）和C（4，4）的直線l 所對應的方程為y=2x-4，從圖可知x≥3；

②同理，直線l 的方程為y=2，從圖可知1≤x≤3；

③同法，l 的方程為y=4-2x，從圖可知x≤1。

由三個解析式的定義域，把三個解析式合寫成一個解析式，為此可作如下變形：

將y=2x-4改寫成y=x-3+x-1，∵x≥3∴又可以寫成y=|3-x|+|x+1|

將y=2改寫成y=3-x+x-1，∵1≤x≤3∴可以改寫成y=|3-x|+|x+1|

將y=4-2x改寫成y=3-x+1-x，∵x≤1∴可以改寫成y=|3-x|+|x+1|，因此將上述三式統一合寫成：y=|3-x|+|x+1|，該式即為所求之解析式。

例3.已知如圖，試求該圖象所對應的函數解析式。

解：由例1可知，直線l 和l 可寫為y=|x-2|①

直線l 和l 可寫成y=|-x-2|+|x+2| ②

由①②又可合寫成y=||x|-2|，該式即為所求的解析式。

例4.已知如圖，試寫出該圖象所對應的函數解析式。

解：①當- ＜x＜ 時，圖象的解析式為y=|x|

②當 ≤x＜ 時，圖象的解析式為y=|x-1|

③當 ≤x＜ 時，圖象的解析式為y=|x-2|

……

因為圖象在x軸與y= 之間的鋸齒形折線，在不同的區間中，從所得的解析式的規律來分析，可整理為：

①當- ＜x＜ 時，圖象的解析式為y=|x-0|

②當 ≤x＜ 時，圖象的解析式為y=|x-1|

③當 ≤x＜ 時，圖象的解析式為y=|x-2|

……

由絕對值的知識和高斯符號知識，可把上述各式統一寫成：

y=|x-［x］|

該式即為所求的解析式。

為了使學生不僅能熟練地正向運用定義、定理和公式，也能是學生習慣于逆向運用定義、定理和公式，舉例如下：

例5.已知數列a，2a，4a，……，2 a，……其中

a= (m∈N)

求證：這個數列中總可以找到一項，它以后各項都是自然數。

分析：注意到表達式a的特點，可聯想組合公式并進行逆用。

解：a= = = =C

∴通項a =2 ，注意到C∈N，只要取n=2m即保證，從該例中體現出逆向應用公式的優越性。

在數學競賽中，如果正面無從下手，也可改變思路，從逆向思維獲得解決。

二、用發散思維法培養學生思維能力

學生從課堂和課本中獲得基礎性知識后，須引導學生進行發散性思維能力的培養。因為學生獲得一個信息后，通過思維，就會產生新的信息和各種聯想，答案不一定是唯一的，也就是說，在同一條件下，可能有各種各樣的結論，這就拓寬了視野，培養了能力。

例如學生從課本和課本得到下列信息：

x ＞0，x ＞0，（x -x ） ≥0

在教師的引導下，創設情境，注意適時點撥，可推導出：

①x+x≥2x x ?搖?搖② + ≥2?搖?搖③ ≥（ ）

④ + ≥ ?搖?搖⑤x +x ≥ + ?搖?搖⑥ + ≥x +x

⑦（x +x ）（x+x2）≥2

如果再在這些信息的基礎上提出：

若設x ＞0，x ＞0，x ＞0，……，x ＞0的條件下是否可以使以上不等式作進一步推廣，使之具有一般形式？提出這個問題后，引導學生再次進行聯想和推廣，促使思維運動，進一步培養學生思維的發散性和激起思維的自覺性。

問題一提出，極大多數學生一定會產生好奇感，開始了新的推廣嘗試。

教師點撥，當x ＞0（i=1，2，3）時將推出什么？

學生從所給的信息，會輸出如下信息，并與上述七個式子相對照。

①當i=1，2，3時，有x+x+x≥3x x x

一般地當i=1，2，3…n時可推得：x+x+…+x≥nx x …x

②當i=1，2，3時，有 + + ≥3

一般地當i=1，2，3…n時，可推得： + + +…+ ≥n

③當i=1，2，3時，有 ≥

一般地當i=1，2，3…n時，可推得： ≥

即x≥x

④當i=1，2，3時，有 + + ≥

一般地當i=1，2，3…n時，可推得： + +…+ ≥

即≥

⑤當i=1，2，3時，有x +x +x ≥ + +

一般地當i=1，2，3…n時，可推得：

x +x +…+x ≥ + +…+

以上知識的拓廣，是學生掌握基本知識后，通過邏輯發散思維，對原有的信息進行加工、拓廣發展，以上拓廣的知識是眾所周知的，但對學生而言，上述的認識和推理過程無疑是一種創造性思維的表現，如能長期堅持，對學

生能力的培養是可想而知的。

三、以客觀事物為思維對象培養學生能力

人的思維一般由感性認識開始再發展到理性認識階段，這是人們對事物認識的一般規律，數學也不例外，在此舉一個集合方面的例子來說明。

設某班的學生為元素，W為該班的男女全體學生集合。

又設A=｛男生｝?搖B=｛戴手表的學生｝，試求：①A∩B?搖②A∪B?搖③ ∪B?搖④ ∩B?搖⑤A∪ ?搖⑥A∩ ?搖⑦ ?搖⑧

本題同樣在教師的引導下進行：

解：①A∩B=｛戴手表的男生｝

②A∪B=｛男生與戴手表的女生｝

③ ∪B=｛女生與戴手表的男生｝

④ ∩B=｛戴手表的女生｝

⑤A∪ =｛男生與不戴手表的女生｝

⑥A∩ =｛不戴手表的男生｝

⑦ =｛女生和不戴手表的男生｝

⑧ =｛不戴手表的女生｝

在實際例子的基礎上，以某班學生50人，男生30人，戴手表的男生10人為例，并記A=｛男生｝、B=｛戴手表的學生｝，試求：①n( )②n(A∪B)③n( ∩B)④n(A∩ )⑤n( ∪B)

如果兩個集合x，y它們元與元之間建立了一對一的對應，那么兩個集合的元的個數是有限的，就可認為這兩個集合的基數（勢）是相等的。

并記為n(x)=n(y)

分析：我們將問題已知條件記為

n(W)=50?搖n(A)=30?搖n(B)=18?搖n(A∩B)=10?搖為了把問題直觀化，可作維恩圖，如圖：

顯然， 為女生的集合，在引導之下作解。

解：①n( )=n(W)-n(A)=50-30=20

②n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=30+18-10=38

③n( ∩B)=n(B)-n(A∩B)=18-10=8

④n(A∩ )=n(A)-n(A∩B)=30-10=20

⑤n( ∪B)=n( )+n(B)-n( ∩B)=20+18-8=30

該例從學生所在班級出發，學生最熟悉且最易接受，通過由感性認識上升到理性認識有利于提高學生的數學能力。同時還可進一步理解鞏固和深化集合的相關知識，直接與實踐掛鉤，以此教學方法來培養學生發現問題和解決問題的能力。

總之，以上所談的幾個方面由于篇幅所限，例子不夠多，其實在數學教學的各個領域中都可以找到。教學實踐證明，學生智力的發展、能力的培養和教師的教學方法有直接的關系，因為教學方法是完成教學任務的手段，是學生獲取知識和應用知識，并將知識轉化為能力的橋梁，教學方法的優劣，對完成教學任務和提高教學質量均有著十分重要的作用。

參考文獻：

［1］季素月.數學教學概論.東南大學出版社，2000年4月.

［2］莊亞棟.高中數學教與學.2004年8月.

［3］袁東錦.數學實驗.2001年9月.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”