加強(qiáng)數(shù)值計(jì)算課程教學(xué)，提高學(xué)生科學(xué)計(jì)算素質(zhì)

摘 要： 本文從數(shù)值計(jì)算課程的特點(diǎn)出發(fā)，介紹了該課程中常用的一些科學(xué)計(jì)算的思想和方法，這些思想和方法是學(xué)生科學(xué)計(jì)算素質(zhì)的重要部分，為了提高這些素質(zhì)，作者對(duì)數(shù)值計(jì)算課程的課堂教學(xué)、實(shí)驗(yàn)教學(xué)、考核方法提出了一些建議。

關(guān)鍵詞： 數(shù)值計(jì)算課程 科學(xué)計(jì)算 教學(xué)方法

理論推演與實(shí)驗(yàn)證明是傳統(tǒng)的兩大科學(xué)方法。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展及其在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用、推廣與深化，科學(xué)計(jì)算已成為繼理論推演和實(shí)驗(yàn)證明之外的第三種科學(xué)手段。現(xiàn)在，作為科學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)內(nèi)容的數(shù)值計(jì)算方法已被廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域，如石油的勘探與開發(fā)、大型水利工程的設(shè)計(jì)與建筑、天氣預(yù)報(bào)等。數(shù)值計(jì)算方法之所以應(yīng)用廣泛，一方面因?yàn)橛?jì)算方法是實(shí)際問題數(shù)值模擬方法的設(shè)計(jì)、分析與軟件實(shí)現(xiàn)的理論基礎(chǔ)，其內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等多種學(xué)科的有關(guān)內(nèi)容，另一方面，計(jì)算機(jī)的發(fā)展使得計(jì)算方法有了先進(jìn)的計(jì)算工具，而計(jì)算能力的提高又使得數(shù)值計(jì)算成為現(xiàn)實(shí)。數(shù)值計(jì)算是一門介紹適用于計(jì)算機(jī)上使用的數(shù)值分析方法的課程，也稱為計(jì)算方法課程。數(shù)值計(jì)算課程是科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)和理論保障，是大學(xué)工科數(shù)學(xué)中的一門重要課程。

一、數(shù)值計(jì)算課程的特點(diǎn)

數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等課程。數(shù)值計(jì)算是以數(shù)學(xué)問題為研究對(duì)象的一門學(xué)科，具有完善的理論體系，它雖然是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，但不同于純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)理論本身，而是著重研究求數(shù)學(xué)問題的各種數(shù)值計(jì)算方法和相關(guān)理論，包括方法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析等，為數(shù)學(xué)問題依靠計(jì)算機(jī)來求解提供有效的數(shù)值方法。為了使學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)值計(jì)算課程的基本思想、基本原理和基本方法，教師要擺脫數(shù)學(xué)思維模式的束縛，過渡到數(shù)值思想，提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算的素質(zhì)。

數(shù)值計(jì)算課程內(nèi)容主要包括：數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、微分方程數(shù)值解法等。它具有以下幾個(gè)特點(diǎn)。

1.實(shí)用性。這門課程中的許多方法的理論基礎(chǔ)是在高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)中學(xué)習(xí)過的知識(shí)，但是與這些基礎(chǔ)課程強(qiáng)調(diào)理論分析不同，它更注重運(yùn)用這些理論分析的結(jié)果，同時(shí)它注重應(yīng)用的科學(xué)性，注重解決實(shí)際問題。

2.注重算法。數(shù)值計(jì)算課程主要研究算法，算法必須能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。例如，解一個(gè)含有大量未知量的線性方程組或計(jì)算高階矩陣的全部特征根，無論計(jì)算方法如何好，單憑人工都是很難實(shí)現(xiàn)的。這就要求我們會(huì)利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行編程計(jì)算，或利用現(xiàn)成的軟件進(jìn)行計(jì)算，這無疑對(duì)學(xué)生的計(jì)算機(jī)水平提出了相當(dāng)高的要求。另外很多計(jì)算方法都具有便于計(jì)算機(jī)求解的特點(diǎn)。

3.工程背景強(qiáng)。數(shù)值計(jì)算方法中的數(shù)學(xué)方法和理論，本身并不都是數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)物，它首先來源于實(shí)際計(jì)算的需要，該課程十分注重解決實(shí)際工程問題，在地質(zhì)勘探、汽車制造、天氣預(yù)報(bào)、航空航天技術(shù)中已經(jīng)得到廣泛的運(yùn)用，它是解決“計(jì)算”問題的橋梁和工具。

二、學(xué)生科學(xué)計(jì)算素質(zhì)應(yīng)包括的內(nèi)容

數(shù)值計(jì)算方法中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，在教學(xué)中應(yīng)注意由淺入深、由特殊到一般，在介紹方法和引進(jìn)概念時(shí)應(yīng)力求揭示問題的實(shí)質(zhì)，對(duì)于方法和概念之間應(yīng)著重闡明其聯(lián)系。數(shù)值計(jì)算方法中有如下一些常用的方法，它們應(yīng)該是提高學(xué)生科學(xué)計(jì)算素質(zhì)的重要內(nèi)容：

1.遞推法。遞推法是計(jì)算公式中常采用的形式，它的基本思想是將一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過程歸結(jié)為簡(jiǎn)單過程的多次重復(fù)，這種重復(fù)在算法中表現(xiàn)為循環(huán)。例如多項(xiàng)式求值的秦九韶方法，就是通過一次式的反復(fù)計(jì)算，逐步得出高次多項(xiàng)式的值，這種化繁為簡(jiǎn)的方法是計(jì)算方法研究的基本原則之一。

2.迭代法。迭代法是處理線性或非線性問題的重要手段之一。迭代法是指按同一公式重復(fù)計(jì)算的一個(gè)數(shù)值過程。例如用雅克比迭代法和賽德爾迭代法求線性方程組的數(shù)值解，就是先構(gòu)造迭代公式，再選定初值，逐次計(jì)算，得到近似解。

3.以直代曲。這是計(jì)算方法常用的手段之一，它的思路是將非線性問題線性化，即在局部范圍內(nèi)用直線近似代替曲線。例如用牛頓迭代法求非線性方程的解，就是典型的以直代曲的例子。

4.化整為零也是計(jì)算方法研究的一種重要手段。用復(fù)化梯形公式和復(fù)合辛普森公式求定積分的近似值就是一個(gè)典型的例子。

遞推法、迭代法、局部以直代曲法、化整為零法，在計(jì)算方法的研究中常常互相滲透、互相聯(lián)系。如牛頓法解非線性方程是局部以直代曲和迭代法的結(jié)合，復(fù)合梯形公式求定積分是化整為零和局部以直代曲的結(jié)合。這些方法都是用極限思想研究不同數(shù)值問題的具體表現(xiàn)。極限思想是從有限中找到無限，并且使之確定下來的一種思想。解非線性方程的牛頓法是一個(gè)迭代過程，是極限無限變化過程中的某個(gè)階段，一方面計(jì)算機(jī)快速而有效的計(jì)算可以完成這個(gè)階段，給出計(jì)算結(jié)果的數(shù)值表，另一方面分析此數(shù)值表能夠幫助我們判斷此算法的收斂性和收斂的快慢程度。當(dāng)然我們還可以用極限的思想構(gòu)造其他解非線性方程的數(shù)值解法，并分析每一種數(shù)值方法的實(shí)用性和有效性。極限思想在計(jì)算方法中的應(yīng)用，使學(xué)生對(duì)極限的概念有了更直觀和深刻的理解，從而提高了學(xué)生的科學(xué)計(jì)算的素質(zhì)。

三、加強(qiáng)數(shù)值計(jì)算方法課程的教學(xué)與考核

為提高學(xué)生的科學(xué)計(jì)算素質(zhì)，就要加強(qiáng)該課程的教學(xué)和考核工作。首先要制定適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)大綱與考試大綱，其次要通過改革教學(xué)方法及方式，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，使學(xué)生能夠把所學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，形成一個(gè)完整的理論體系，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神。

1.課堂教學(xué)。課堂講授是數(shù)值計(jì)算方法教學(xué)中的主要部分，我們應(yīng)該盡可能地突出數(shù)值計(jì)算課程的特色。由于數(shù)值計(jì)算中涉及的問題都是從實(shí)際中提煉出來的，再應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論加以推導(dǎo)，最后提出具體的解決方法，因此，每種數(shù)值方法的講授都應(yīng)該盡量地從實(shí)例中提出問題，引導(dǎo)學(xué)生去思考如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去構(gòu)造解決的方法，然后再給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論。實(shí)際上，數(shù)值分析的教學(xué)過程恰好就是一個(gè)簡(jiǎn)單的科學(xué)研究過程，這種教學(xué)方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更加扎實(shí)。

目前在數(shù)值計(jì)算教學(xué)中還存在一些普遍的問題，如：教學(xué)課時(shí)有限，課堂講授不可能面面俱到；覆蓋的知識(shí)面寬，各部分內(nèi)容自成體系，結(jié)構(gòu)松散，前后連貫性不強(qiáng)；對(duì)問題實(shí)際背景分析不夠，不了解數(shù)學(xué)思維過程，很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生的實(shí)踐能力也不強(qiáng)；一般教材對(duì)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)方面不夠重視，不利于提高學(xué)生的應(yīng)用能力。為解決這些問題，應(yīng)該對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行必要的選擇，進(jìn)行必要的加工。例如常微分方程的數(shù)值解，不僅要學(xué)習(xí)初值問題，而且對(duì)邊值問題也要進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻摚赃m應(yīng)數(shù)學(xué)建模的廣泛性，使講授的內(nèi)容不僅具有適用性，而且具有嚴(yán)密的邏輯性和完整性。

多年延續(xù)下來的授課方式大多是板書，對(duì)課本內(nèi)容邊講解、邊板書而完成。現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法信息量大、公式繁多、理論與實(shí)際結(jié)合強(qiáng)，采用傳統(tǒng)方式教學(xué)，黑板板書占用了大量時(shí)間，不利于豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，也無法向?qū)W生進(jìn)行程序演示與算法比較，所以我們要對(duì)教學(xué)方法及教學(xué)手段進(jìn)行改革。數(shù)值分析的知識(shí)由許多不同的部分組成，而且內(nèi)容十分廣泛，授課時(shí)，先從它的實(shí)際背景入手，分析建立數(shù)學(xué)模型的思路及計(jì)算方法的理論依據(jù)，努力使各部分之間保持緊密的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生找出各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，以及它們的不同之處，分析各種計(jì)算方法，提出它們的缺點(diǎn)所在，例如方法的收斂性和穩(wěn)定性，以及是否為病態(tài)問題，這樣學(xué)生的思路就會(huì)非常清晰。例如在插值法的教學(xué)中，首先用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理解決插值多項(xiàng)式解的存在唯一性，然后對(duì)表達(dá)式進(jìn)行求解，從而得到拉格朗日插值法，再通過理論分析，引出牛頓插值法、赫米特插值法等，直至三次樣條插值，這樣就形成一個(gè)完整的插值計(jì)算法。在教學(xué)中，要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用現(xiàn)代化手段。由于數(shù)值計(jì)算的理論基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)，它的理論推導(dǎo)有時(shí)比較復(fù)雜，但原理并不抽象。如果我們只是推導(dǎo)演算來求得計(jì)算公式，不但會(huì)把一個(gè)簡(jiǎn)單公式復(fù)雜化，而且勢(shì)必會(huì)分散學(xué)生的注意力，讓他們感到枯燥無味，使其在情緒上產(chǎn)生抵觸心理，降低學(xué)習(xí)效率。利用多媒體輔助教學(xué)，可以增大信息量，節(jié)省一些不必要的時(shí)間，把精力集中在講透基本概念、基本原理及算法實(shí)現(xiàn)上，再把一部分實(shí)例圖形展示給學(xué)生，會(huì)加深他們的印象與理解。還可以分步重復(fù)演示，有效地強(qiáng)化課堂教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生對(duì)問題的直觀認(rèn)識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，因而多媒體課件輔助教學(xué)也是教學(xué)改革的一個(gè)重要內(nèi)容。

2.實(shí)驗(yàn)教學(xué)。數(shù)值計(jì)算是一門實(shí)驗(yàn)性學(xué)科。如果我們只講授一些算法，不去上機(jī)實(shí)際操作，勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生的實(shí)踐與應(yīng)用能力很差，學(xué)到的知識(shí)除了應(yīng)付考試外不知道如何使用和有什么實(shí)際用途。此外，上機(jī)實(shí)驗(yàn)不但能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，而且對(duì)其編程能力也有所提高。由于計(jì)算方法不但要求適合于計(jì)算機(jī)上使用，而且該算法必須具有算法的穩(wěn)定性、理論的可靠性及計(jì)算的復(fù)雜性，因而上機(jī)實(shí)踐是必不可少的。這也是一個(gè)消化所學(xué)內(nèi)容的過程，以此來驗(yàn)證各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，同時(shí)也是改進(jìn)編寫計(jì)算機(jī)程序的過程，通過自己的親自編程實(shí)踐來解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，也是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的過程，使學(xué)生做到學(xué)有所用。這樣不僅能使學(xué)生掌握計(jì)算方法的理論知識(shí)，學(xué)會(huì)解決一些簡(jiǎn)單問題的方法，更重要的是使學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)的用處。近幾年來全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽，更是體現(xiàn)了利用數(shù)學(xué)思想提煉出解決一些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后從理論上進(jìn)行分析研究，最后編制實(shí)驗(yàn)程序、上機(jī)實(shí)踐，使得問題得以解決。上機(jī)課的目的主要在于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和編程能力，將課堂上學(xué)到的數(shù)值分析方法理論應(yīng)用到具體的實(shí)例中，這是一個(gè)消化課堂上學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)的過程。學(xué)生針對(duì)同一個(gè)問題可以嘗試不同方法去解決，并且加以比較，以此來驗(yàn)證各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。數(shù)值分析中的問題僅靠課堂教學(xué)、理論推導(dǎo)是很難講明白的，例如收斂性、穩(wěn)定性等相關(guān)問題，學(xué)生在實(shí)際的計(jì)算過程中，可以通過畫圖或列表等比較的方式對(duì)課堂的知識(shí)加深理解。上機(jī)實(shí)驗(yàn)與課堂教學(xué)的結(jié)合也是一種初級(jí)科研過程，讓學(xué)生初步感受到科研的樂趣、困難及氣氛。但是需要說明的是，上機(jī)實(shí)驗(yàn)這一教學(xué)環(huán)節(jié)也存在著一些問題：實(shí)習(xí)題目重復(fù)與學(xué)生之間的抄襲問題。教師可以將學(xué)生分組做不同的題目，或者針對(duì)同一題目，應(yīng)用多種方法選擇不同的參數(shù)求解，然后比較它們之間的差別。上機(jī)實(shí)驗(yàn)部分的教學(xué)仍有許多需要改進(jìn)之處，為保證上機(jī)質(zhì)量，在每次上機(jī)之前均布置上機(jī)作業(yè)，并要求學(xué)生按上機(jī)目的、算法原理、程序、計(jì)算結(jié)果及結(jié)果分析寫出上機(jī)報(bào)告。實(shí)踐證明，上機(jī)實(shí)踐調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，同時(shí)也提高了學(xué)生的動(dòng)手能力。

3.考核檢查。考核是每門課程的最后一個(gè)環(huán)節(jié)。以前，數(shù)值計(jì)算方法課程考試為筆試，其成績(jī)由期中、期末成績(jī)按比例計(jì)算。這樣的考核方式雖然簡(jiǎn)單、易于操作，但這也是學(xué)生不重視實(shí)驗(yàn)、不注重如何應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的原因之一，造成了學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際和解決實(shí)際問題的能力差。針對(duì)數(shù)值分析課程的特點(diǎn)，除平時(shí)成績(jī)之外，應(yīng)將數(shù)值實(shí)驗(yàn)放在考核范圍之內(nèi)，上機(jī)書面報(bào)告是考核內(nèi)容之一。作業(yè)是考核內(nèi)容之一，教師要精選一些與教學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的習(xí)題，注重鞏固提高學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生掌握基本技能和技巧，獲得一些解題方法。做作業(yè)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要手段之一，很多知識(shí)需要整理、推導(dǎo)、應(yīng)用，才能從中理解所學(xué)內(nèi)容。實(shí)驗(yàn)考核是考核的一部分，上機(jī)要有實(shí)驗(yàn)報(bào)告，為避免學(xué)生應(yīng)付或抄襲，應(yīng)分組實(shí)驗(yàn)，每組所給數(shù)據(jù)（原始）稍做改動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生重視理論和實(shí)踐相結(jié)合，激發(fā)他們的創(chuàng)作熱情，培養(yǎng)學(xué)生積極向上的精神。要重視書面考核的設(shè)計(jì)，力求知識(shí)面廣、題型內(nèi)容豐富，既考查基礎(chǔ)知識(shí)，又考查解決問題的能力，促進(jìn)教學(xué)的良性循環(huán)。

參考文獻(xiàn)：

［1］李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001.

［2］白峰杉.數(shù)值計(jì)算引論［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］孫志忠，吳宏偉，袁慰平，聞?wù)癯?計(jì)算方法與實(shí)習(xí)［M］.南京：東南大學(xué)出版社，2005.