滲透建模思想 提高學生能力

對于一個實際問題，我們分析問題中的數量和這些數量間的關系，然后把這些數量及其關系用字母和式子表示，在此基礎上，進一步區分不同的式子給出不同的名稱，這種數學活動即為建立數學模型，如初中數學中我們常見的重要數學模型：代數式、方程、不等式、函數等。建立數學模型實際上就是從實際問題中抽象轉化出數學模型，也有人稱它為數學化。這是一種極為重要的數學活動，它不僅有助于對數學模型的理解，而且更為重要的是，學生由此逐漸學會了分析問題和解決問題的思想方法，發展了學生的數學思維，從而提高了能力。毫無疑問，建立數學模型是比沒有實質意義的煩瑣變形更有價值的。過去許多學生之所以學不好數學，甚至害怕以至討厭數學，就是沒有讓他們逐步學會建模。建立數學模型既是從生成問題到解決問題的過程，也是由發現問題到解決問題的關鍵所在。因此，在教學過程中，要注重建模這一數學思想方法的滲透，增強到解決問題學生的建模意識，從而更好地理解數學知識的意義，掌握必要的基礎知識與基本技能，發展應用數學知識的意識與能力，增強學好數學的愿望和信心。

初中階段數與代數的內容中充滿了用來表達各種數學規律的模型，如代數式、方程、函數、不等式等。下面結合兩個教學實例說明如何在教學實際中滲透數學建模思想。

例1： 現有一樓房底層發生火災，樓上有數人被困，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，已知云梯最多只能伸長10米，消防車高3米。救人時云梯伸至最長，在完成從9米高處救人后，還要再往12米高處救人，這時消防車要從原處再向著火的樓房靠近多少？(滬科版教材八年級20.3節)

分析：如圖，設A是云梯底下的端點，AB是伸長后的云梯，B是第一次救人的地點，D是第二次救人的地點，過點A的水平線與樓房ED的交點為O.則OB=9-3=6（米），OD=12-3=9（米）。 根據勾股定理，得：AO2=AB2-OB2=102-62=64，

得AO=8(米)

設AC=x，則OC=8-x，于是根據勾股定理，得

OC2+OD2=CD2，

即(8-x)2+92=102，

從而可以解出x.

這是一道方程應用題。《課程標準》要求，學生“能根據具體問題中的數量關系，列出方程，解決問題，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型”。對于方程應用題，教學開始時，不要過早地把問題分類，不要把各種應用題的解法當成現成的結論來教，將解決問題的思維方法模式化。對于此題，應鼓勵學生積極參與解題的活動，讓學生從題目的含義入手，自主探索、研究，在教師的適當引導下，通過相互交流與討論從題目中抽象出數學模型，循序漸進，由淺入深，讓學生投入到思維活動中，發揮主體作用，切實感受思考的快樂。在這個過程中，學生經歷了把實際問題抽象成數學問題，設未知數，利用等量關系建立方程，求出問題的解，實際上已經滲透了數學建模思想。

例2： 一個由3個大人和4個孩子組成的家庭去某地旅游。甲旅行社的收費標準是：如果買4張全票，則其余人按五折優惠；乙旅行社的收費標準是：家庭旅游算團體票，按原價的七五折優惠。這兩家旅行社的原價均為每人100元。這個家庭選擇哪家旅行社所花的費用少？比較隨著人數的變化，哪家旅行社的收費更優惠？這也是一個與現實生活密切聯系的情境問題。對于此題，如果學生只停留在對概念的記憶和技能的模仿上，則很難找到解決問題的途徑。教學中，應讓學生認真分析問題中的數量關系，通過設元，列出兩種收費的函數關系式，進而根據題意列出不等式求解。當然，此題也可以用直接建立不等式模型等方法求解。

在經歷多次這樣的活動后，使學生感受到方程、函數等數學知識與實際問題的聯系，體會到它們是刻畫現實世界的數學模型，領會數學建模的思想和思考與解決問題的基本過程，提高解決問題的能力和自信心，為進一步學習打下良好的基礎。

在實施數學建模的教學中須注意以下幾點：

1. 數學建模的教學，要關注數學模型的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶的學習方式。例如函數，不應只關注對其表達式、定義域和值域的討論，而應選取具體實例，使學生體會函數能夠反映實際事物的變化規律。

2. 隨著數學模型應用的深化學習，它所涉及的數量關系會愈加復雜，實際問題背景更豐富，建立數學模型過程的難度也更大。這時應讓學生注意多積累經驗，運用多種方法和手段化解。

3. 數學建模思想是以具體的數學知識來體現的，對它的教學，既需要教材的滲透反映，也需要教師的點撥，最終需要學生的自身感受和理解。（定遠縣紅山學校）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。