“三維結構”優化處理在應用題教學中的運用

摘要：通過對數學問題本身的結構、學生已有的知識結構和學生原有的認知結構(簡稱為數學學習的“三雛結構”)這三者之間的關系進行優化處理，促進小學數學應用題的教學

關鍵詞：應用題教學；數學結構；知識結構；認知結構：優化處理

數學問題本身的結構、學生已有的知識結構和學生原有的認知結構，簡稱為數學學習的“三維結構”，它們是數學學習過程中涉及的三個不同的重要概念。在數學教學過程中充分利用這三個結構之間的關系，對其進行優化處理，將十分有益于促進教學質量的有效提高。本文就“三維結構”優化處理在小學數學應用題教學中的運用談談自己的認識。

應用題本身有兩種結構，一種是情節結構——說的是怎樣一回事；另一種是數學結構——由條件和問題有機地構成。情節結構和數學結構交織在一起難以分割，并直接影響應用題的解答難度和解題方法。解題者通過情節結構理解題意，通過分析數學結構探尋解題途徑。然而，在認識和分析應用題的數學結構過程中。又離不開學生已有的知識結構和學生頭腦中原有的認知結構。

知識結構是指學生在學習過程中已經掌握的基本概念、基本原理和基本方法。就應用題而言就是與應用題有關的概念、原理、性質、定律、法則和公式等。如學生已掌握的四則運算的意義，以及從“運算意義”遷移到簡單應用題的解題方法構成了簡單應用題的知識結構。又如將復合應用題分解成若干個連續性的簡單應用題，加減乘除四種基本數量關系，能順利地解答各種簡單應用題的技巧等，就構成學習復合應用題的知識結構。

認知結構是指知識系統中的內容在學生頭腦中形成的邏輯結構模式，即在學習知識過程中，經過感知、表象、記憶、領悟、推理、判斷等一系列智力活動所產生的認知模式的心理結構。皮亞杰在他的認識論中指出：“認知結構涉及模式、同化、順應、平衡四個基本概念。”學生學習新知時，先是試圖用原有模式去同化，如果成功，就得到暫時平衡，如果不能用原有模式進行同化，就必須進行調整組合，作出順應，達到新的平衡，實現由知識結構轉化為認知結構的過程。隨著不斷地學習，認知結構也就不斷地得到相應的發展。

在學習過程中，“三維結構”是以相輔相成、相互促進的方式進行活動的。教學時，教師先要讓學生建立良好的認知結構和知識結構，再憑借原有的認知結構，最大限度利用學生的知識結構，通過探求應用題的數學結構來提高分析解答問題的能力。

一、抓好基礎知識教學，構建良好的知識結構

就數學知識結構而言，原有知識是新知識的基礎，而新知識是舊知識的遷移、深化和擴展。就應用題的知識結構而言，簡單應用題是復合應用題的基礎，而復合應用題是簡單應用題的組合。因此，簡單應用題的結構模式是形成復合應用題認知結構的基本模式，必須讓學生充分理解和掌握。

低年級學生由于年齡小，知識面窄，認知能力較差，掌握這些結構有一定困難。他們追求的是解題方法和計算結果，對于為什么要用這些方法。往往是根據題目中的問題和某些個別因素來決定，而不是從整體結構中去全面分析其數量關系。據此，在簡單應用題教學中，對于每種簡單應用題的結構特征以及條件與問題間的對應關系，都要通過教具、實物演示或線段圖以及學具操作實踐，引導學生認真觀察、分析，在理解的基礎上進行抽象概括，達到內化，掌握其結構特點。例如，小張今天上午做了8道數學題，下午做了9道數學題，小張今天上下午一共做了多少道數學題?可先讓學生擺小棒：第一次擺8根，第二次擺9根。思考“小張今天上下午一共做的數學題是由哪幾個部分組成的；求小張今天上下午一共做了多少道數學題就是要怎么樣；8和9加起來組成幾；怎樣計算”。然后出示反映題意的示意圖，引導學生從已有的數的組成遷移到用加法解答。從而使他們明白，應用題是由兩個條件和一個問題組成的，把兩個數合并成一個數用加法計算，而用加法計算的基礎就是數的組成與分解。這樣，新的知識就不難納入原有的知識結構。

此外，對于逆敘結構形式的簡單應用題，要引導學生加強訓練，進行對比分析，防止知識結構產生泛化的現象。

二、按照認識規律教學，構建良好的認知結構

學生解答應用題的過程是一個完整地認識客觀事物的過程。應用題的教學要從學生心理發展整體原則出發，遵循認知規律形成思維的模式，即感知表象一抽象概括一實踐應用。在獲取知識的過程中形成和發展相應的認知結構。

首先，要重視感知過程。建立正確的認識。全面領會應用題的內容，識別題目的結構特征，是確定解題方案的基礎。所以解題時必須要求學生認真審題，通過視覺觀察教師的直觀演示，或通過聽覺感受老師、同學的讀題，感知題目敘述的事物情景及數量關系。從而對題目的整體結構有一個初步的認識，在頭腦中形成問題表象。對于情節比較生疏、數量關系比較復雜的題目，應通過演示、畫圖、描述等方法，讓學生反復地感知，準確地理解題意，識別其結構特征。形成清晰的表象。這一過程稱為直接感知過程，它調節整個解題的心理活動。為問題本身的內化創造條件。

其次，要注意分析過程，促進認知結構重新建構的平衡。在審題的基礎上進一步分析題目中提供的數量關系，進行問題內化，確定解題方案，這是解應用題的核心部分。教學中，教師要逐步讓學生掌握分析、綜合、比較、抽象、概括等基本思維方法，對審題時輸入頭腦中的表象進行分析，抽取有效條件，排除無關因素，并與原有認知結構聯結，進行轉換組合，達到順應。例如，清掃一段路，由第一小組清掃需要4分鐘，由第二小組清掃需要6分鐘，由這兩個小組共同清掃需要幾分鐘?先讓學生感知題目，明確這是一道分數工程問題，它的工作量(或路程)為“2”，第一小組的工作效率(或清掃速度)為1/4，第二小組的工作效率(或清掃速度)為1/6，兩個小組合起來的工作效率(或清掃速度)為1/4+1/6，抓住問題的本質，把當前的問題與頭腦中儲存的有關整數工程問題的數量關系聯系起來，學生就不難找到解決問題的方案。這一過程就是問題本身內化的過程。較好地實現了認知結構重新建構的平衡。

此外，要按認識規律組織教材，保證認知結構向正遷移發展。有些應用題由于情節變化、條件隱蔽，容易引起混淆，產生泛化，影響學生新的認知結構的形成。教學中，一方面要加強對比分析，另一方面要按學生認識水平組織教材。例如，今年植樹節，二(1)班植了15棵，比二(2)班多植3樹棵，今年植樹節這兩個班一共植了多少棵樹?這是一道基本復合應用題。但由于只有兩個條件(其中二(2)班植樹數是隱蔽的)。容易被學生誤認為一步計算的簡單應用題，同時逆敘結構形式也增加了解題的難度，所以學生解答時往往出錯。教師可從學生原有認知結構出發，將上題分解為連續兩問的簡單應用題，即“今年植樹節，二(1)班植了15棵，比二(2)班多植3樹棵。二(2)班植了多少棵樹?今年植樹節這兩個班一共植了多少棵樹?”當學生解答后，去掉第一個問題，便成了原題。這樣便于學生掌握結構的本質特征。

三、加強基本結構訓練

簡單應用題數量關系的一次或多次擴展就構成了復合應用題。復合應用題由幾個相互聯系的簡單應用題組合而成。但在組成一道復合應用題的幾道簡單應用題中有一道是起“覆蓋性主題作用”的。例如，為了支持抗震災區，某校師生已經捐了5萬元，后來又有100名教師每人捐了200元，問該校師生一共捐了多少元?這題的“覆蓋性主題”是：“為了支持抗震災區，某校師生已經捐了5萬元，后來又捐了2萬元，問該校師生一共捐了多少元?”而組成這道復合應用題的另一道簡單應用題是：“后來又有100名教師每人捐了200元，后來又捐了多少元?”這實際上是“后來又有100名教師每人捐了200元”的間接表達。解題時，學生若能找出這一“覆蓋性主題”且又能將主題中的一個已知條件用間接方式表達，則此題就能迎刃而解。因此，掌握應用題結構的變化規律是教學中的重點，而基本結構訓練則是學生理解和掌握應用題結構特征與變化規律的重要途徑。教師應從簡單應用題的教學開始，結合教材內容有機地進行結構的擴展、改編、壓縮等訓練。具體來說有以下幾個方面：

(I)補：補充問題或其中一個條件，使之成為一道完整的應用題。(2)擴：將“覆蓋性主題”的簡單應用題進行數量關系的一次或多次擴展，使之成為兩步或多步解答的復合應用題。(3)縮：將復合應用題中間接表達的已知數量直接化，壓縮成“復蓋性主題”的簡單應用題。(4)拼：從許多條件和問題中選擇對應的條件和問題組成一道簡單或復合應用題。(5)拆：將一道復合應用題分解成為兩道或幾道簡單應用題。(6)變：改變條件或問題、或將條件與問題置換。使其數量關系發生變化而成為另一道結構相同的應用題。

通過上述結構變化的各種訓練。讓學生從不同角度根據新舊知識結構的矛盾，不斷調整改組原有的認知結構，理解和掌握各種應用題的本質特征及其變化規律，既突出了知識之間的內在聯系，又為實現知識的正遷移、達到內化平衡創造了條件。

幫助學生扎實而深刻地理解掌握數學知識結構。并在此過程中，遵循數學學科的特點和學生的認知規律，使數學的知識結構能很好地內化為學生頭腦中的認知結構，在解題過程中，以數學的知識結構和學生頭腦中的認知結構為基礎和工具，引導學生認真分析數學題本身的結構，最后使問題得到解決，使學生的思維得到發展，這不僅適合于小學數學應用題的教學，也是其他數學知識教學值得借鑒的科學方法。