橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同

【摘要】 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，就如何開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，本文提出了教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，引導(dǎo)學(xué)生探索“名題新解”#65380;“一題多解”#65380;“一題多變”#65380;“一題多思”的教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】 復(fù)習(xí)課;創(chuàng)新思維;創(chuàng)新能力;一題多解 ;一題多變;一題多思

布魯納指出，“探索是教學(xué)的生命線”. 勇于探索的精神和能力是數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維能力的前提和基礎(chǔ).“數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其根本的特征是表達了一種探索精神”. 教師應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，引導(dǎo)學(xué)生探索“名題新解”，讓“名題”煥發(fā)生機;引導(dǎo)學(xué)生探索一題多解，讓問題由點連成線;引導(dǎo)學(xué)生探索一題多變，讓問題由線構(gòu)成面，最終使學(xué)生的創(chuàng)新思維得以開發(fā)，創(chuàng)新能力得以培養(yǎng). 基于上述理念，我以2008年的一道高考題為例，借題發(fā)揮，探索一題多解#65380;一題多變的價值，以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會多層次#65380;廣視角#65380;全方位地認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，既鞏固已學(xué)知識，又使學(xué)生不斷獲取“獨創(chuàng)”成果，將學(xué)生帶入新的領(lǐng)域. 本文擬在這一方面作一些有益的嘗試.

一#65380;引入名題

例1 (2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試重慶卷理工農(nóng)醫(yī)類第4題)已知函數(shù)y = +的最大值為M，最小值為m，則 的值為 ().

A.B.C.D.

二#65380;一題多解

絕大多數(shù)的同學(xué)很快就做出了答案，我看了一下除個別同學(xué)之外都采用了與參考答案一致的方法——導(dǎo)數(shù)，解法如下:

解法1 (利用導(dǎo)數(shù))設(shè)f(x) =+，由1 - x ≥ 0，x + 3 ≥ 0，解得-3 ≤ x ≤ 1.

∴f′(x) = - =.令f′(x) = 0得x = -1.

當(dāng)x∈[-3，-1]時，f′(x) > 0，原函數(shù)y = f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈[-1，1]時，，f′(x)< 0，原函數(shù)y = f(x)為減函數(shù).故M = f(-1) = 2 ，m = f(-3) = f(1) = 2，

∴ = =，故選C.

點評 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性#65380;最值很方便，思路清晰，它充分體現(xiàn)了新教材導(dǎo)數(shù)的工具的優(yōu)點.

有人用“創(chuàng)造能力 = 知識量 × 發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力. 可見，加強發(fā)散思維的訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法. 于是，我又不失時機地鼓勵學(xué)生注意探求一題多解，廣闊尋求多種解法，拓寬解題思路，開發(fā)創(chuàng)新思維能力. 學(xué)生通過相互探討又提出了以下的解法:

解法2 (利用二次函數(shù))

由1 - x ≥ 0x + 3 ≥ 0，解得-3 ≤ x ≤ 1.

由y = +，①

兩邊平方，得y2 = 4 + 2 .

令t = -x2 - 2x + 4，

∵ -3 ≤ x ≤ 1，

∴ 0 ≤ t ≤ 4，∴4 ≤ y2 ≤ 8.

又∵ y ≥ 0，∴ 2 ≤ y ≤ 2 ，M = 2 ，m = 2，∴==，故選C.

點評 考慮到本題不能直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最值，通過兩邊平方把無理式轉(zhuǎn)化為有理式，然后通過求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值使問題得到解決.

解法3 (利用基本不等式)設(shè) a ≥ 0，b ≥ 0，

∴ a + b ≥ 0，2ab ≥ 0，

∴ a2 + b2 + 2ab ≥ a2 + b2，即(a + b)2 ≥ a2 + b2，

∴ a + b ≥，當(dāng)且僅當(dāng)a = 0或b = 0時等號成立.

∵ a2 + b2 ≥ 2ab ，∴ 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2，

∴ ≥ (a + b)，當(dāng)且僅當(dāng)“a = b”時等號成立.

∴≤ a + b ≤ .②

(當(dāng)且僅當(dāng)“a = b”時等號成立).

∵-3 ≤ x ≤ 1，≥ 0，≥ 0，設(shè)a =，b =，根據(jù)②得:

≤ + ≤，

即2 ≤ y ≤ 2 ，∴M = 2 ，m = 2，

∴ = =，故選C.

點評 利用基本不等式對函數(shù)式進行放大或縮小是求函數(shù)最值的基本方法.

解法4 (利用構(gòu)造法)

構(gòu)造函數(shù)f(x) =，x∈[0，+∞)，

任取x1，x2∈(0，+∞)，f(x1) + f(x2) = +.

f-[f(x1) + f(x2)] =

- =

=

≥ 0，

∴ [f(x1) + f(x2)] ≤ f .③

∵ -3 ≤ x ≤ 1，1 - x ≥ 0，x + 3 ≥ 0，設(shè)x1 = 1 - x，x2 = x + 3，根據(jù)③得:

[f(x1) + f(x2)] =≤

f==.

∴ + ≤ 2 .

又∵ + ≥在[-3，1]上恒成立，且s =，x∈[-3，1]是增函數(shù)，

∴ smax = 2，∴+ ≥ 2，

∴ 2 ≤ y ≤ 2 ，∴ M =2 ，m = 2，

∴ = =，故選C.

點評 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題是函數(shù)思想的體現(xiàn).

解法5 (利用整體代換)

設(shè)= m，= n，

則m2 + n2 = 4. ④

m + n - y = 0.⑤

由1 - x ≥ 0，x + 3 ≥ 0，解得-3 ≤ x ≤ 1，

∴ 0 ≤ m ≤ 2，0 ≤ n ≤ 2.

如圖1所示，④表示在[0，2]上的一段圓弧，⑤表示斜率k = -1的平行直線系.

由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過(0，2)，(2，0)時，y有最小值2;當(dāng)直線與圓弧相切時，y有最大值2 .

∴ 2 ≤ m ≤ 2 ，∴ M = 2 ，m = 2，

∴= =，故選 C.

點評 整體代換法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，本例通過整體代換法把無理式轉(zhuǎn)化為有理式使式子有明顯的幾何意義.

解法6 (利用換元法)

由1 - x ≥ 0，x + 3 ≥ 0，解得-3 ≤ x ≤ 1，0 ≤ ≤ 2.

設(shè)= 2sin α，則x = 1 - 4sin2α(α∈0， ) ，

則= = 2cos α，

∴ y = + = 2sin α + 2cos α = 2 α +.

∵ 0 ≤ α ≤，∴ ≤ α +≤ ，2 ≤ 2 sinα + ≤ 2 ，

∴ 2 ≤ y ≤ 2 ，∴ M = 2 ，m = 2，

∴ = =，故選C .

點評 利用-3 ≤ x ≤ 1這個條件進行“三角換元” 解法簡潔明快，令人拍案叫絕.

解法7 (利用向量工具)

設(shè)a =(-1，1)，b=( ， )，

則|a| =，|b| = 2.

設(shè)a，b的夾角為α，

則由圖2可知0 ≤ α ≤，

∴ ≤ cos α ≤1，

∴ 2 ≤a#8226;b =+ = |a| × |b| × cos α ≤ 2 ，

∴ 2 ≤ y ≤ 2 ，∴M =2 ，m = 2，

∴ = =，故選C .

點評 以向量為工具，通過向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算，視覺獨特，別有一翻新意，令人耳目一新.

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，不同的視角，不同的構(gòu)思，不同的解法. 解法之多出人意料，解法之妙令人驚嘆!這些解法涉及知識面寬，既有代數(shù)知識的綜合運用，又有幾何知識的集中體現(xiàn)，確實讓人賞心悅目，令人陶醉，使我們真正地享受到了數(shù)學(xué)帶來的無窮樂趣.

三#65380;一題多變

奧加涅相說得好:“必須重視，很多習(xí)題潛在著進一步擴展其數(shù)學(xué)功能#65380;發(fā)展功能和教育功能的可能性.……從解本題到獨立地提出類似問題和解答這些問題，這個過程顯然在擴大解題的武器庫，隨著學(xué)生利用類比和概括能力的形成，辯證思維#65380;思維的獨立性以及創(chuàng)造性的素質(zhì)也在發(fā)展.”經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生提出了以下一些類擬的問題，并初步的探討了它們的一些解法:

問題1:求函數(shù)y = -的值域;

問題2:求函數(shù)y = -的值域;

問題3:求函數(shù)y = ±的值域;

問題4:求函數(shù)y = A± B 的值域;

問題5:求函數(shù)y=±B 的值域.

數(shù)學(xué)題是永遠(yuǎn)也做不完的，簡單重復(fù)式地多做題只能讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)比較枯燥，比較抽象，比較繁難. 但教師如果善于變題，在變題中學(xué)生就會不自覺地掌握一類題的解法，則會以少勝多，而且可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力.

四#65380;一題多思

我并沒有滿足于學(xué)生的各種巧思妙解，在課堂小結(jié)時我讓學(xué)生結(jié)合每一種解法提出之后教師的點評，進一步引導(dǎo)學(xué)生對下面的3個問題進行探論:

問題6:各種不同的解法是怎樣發(fā)現(xiàn)的?

問題7:哪些解法具有推廣價值?

問題8:還有哪些問題沒有解決?

針對問題6，從數(shù)的結(jié)構(gòu)來看主要有三點:一是非負(fù)性，二是有界性，三是和為定值.結(jié)構(gòu)的豐富性決定著解法的多樣性，視覺的特殊性決定著解法的獨創(chuàng)性.而各種結(jié)構(gòu)之間相互轉(zhuǎn)換為一題多解提供了廣闊的前景，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維開辟了嶄新的途徑. 針對問題7#65380;問題8，再一次讓學(xué)生清楚地知道了哪些是通法，哪些是技巧，哪種解法具有普遍意義和推廣價值.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)與交流，學(xué)生得到的不僅僅是知識，更重要的是求知欲望的滿足和思維習(xí)慣的養(yǎng)成，以及思維能力的提高. 這樣的教學(xué)方法是培養(yǎng)學(xué)生“問題意識”的有效途徑，真正為確立學(xué)習(xí)者的主體地位創(chuàng)造了良好的環(huán)境.

五#65380;心得體會

復(fù)習(xí)課教學(xué)中，題不在難，能變就行;解不在妙，有趣就行. 課堂教學(xué)蘊涵著無窮的生命力，教師在課堂教學(xué)過程中，應(yīng)抓住轉(zhuǎn)瞬即逝的良機，多運用“變一變”的策略. 通過變來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高教學(xué)的效率;通過變來改變我們教學(xué)模式，變傳授為自主研究;通過變，使學(xué)生在“層出不窮”的新問題#65380;新方法#65380;新體驗中，使知識得以升華，認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以完善，創(chuàng)新思維得以開發(fā)，創(chuàng)新能力得以培養(yǎng).

【參考文獻】

[1] 任勇. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù).北京:人民教育出版社，2004(9):1.

[2] 王培德.數(shù)學(xué)思想應(yīng)用及探究-建構(gòu)教學(xué).北京:人民教育出版社，2003(8):1.

[3] 王尚志.走進高中數(shù)學(xué)新課程.上海:華東師范大學(xué)出版社，2008(8):1.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”