一道和積方程的探究性學習

一、問題的提出

在傳統的數學課堂教學中，教師多采用授受式學習方式，學生在課堂上大多是做老師課前準備好或指定的例題或習題. 由教師支配教學過程，學生的學習過程容易流于被動. 同時，在當前學生人數較多的大班教學中，教學內容有嚴格要求，受到教學進度限制，教師輔導學生的學習很難做到因人而異，因勢利導，給予學生的學習空間有限. 在這種情況下，學生的積極性、主動性較差，好奇心不強，缺乏進一步深入學習、理解和思考的主觀能動性. 這樣的課堂教學模式，在師生互動、學生的主觀能動性的調動、學生知識的遷移等方面便存在先天不足，不利于學生潛能的開發. 怎樣彌補以上不足，筆者嘗試在課堂教學中引入探究性活動，以一道和積方程的研究性學習為例，將探究性學習和授受式學習相互結合，試圖解決這種單一接受式學習方式的弊端.

二、問題的求解

在這一堂數學課上，筆者以一道題為例，讓大家分組探究，合作交流，共同分析、總結，力求使學生體驗數學研究的過程，培養創新的思維能力以及對數學問題研究的興趣.

例1 求滿足xy = x + y的正整數解.

師：這是一道結構和內容都較簡潔的問題，但如不考慮適當方法，求解勢必受阻.

生１：我將等式化為xy - x - y = 0，再變形xy - x - y + 1 = 1. 然后等式左邊因式分解，得（ｘ － １）（ｙ － １） = 1. 又必須ｘ，ｙ為正整數，所以x - 1 = 1，y - 1 = 1. 故x = ２，ｙ = 2.

師：這種解題思路很好. 能將等式巧妙變形，然后通過因式分解求解，思路有獨到之處.

生２：還可以從方程的角度去思考. 我將等式看做方程，把ｙ看做未知數，ｘ看做已知數，則可求出y =，再適當變形y =，即y = 1 +.

又 ｘ，ｙ都是正整數，故只有x - 1 = 1，從而ｘ ＝ ２，ｙ ＝ ２．

師：這種方法解得好． 我們對于等式xy = x + y切忌狹義理解為二元二次方程. 剛才這名同學是將等式 xy = x + y看做了含待定系數的一元一次方程. 這是將“多元”轉化為“單元”的思想.

生３：我也是用方程的思想解題的. 我注意到題目已知條件中有“兩數之和與兩數之積”，從而聯想到方程中根與系數的關系.

不妨設xy = x + y = m，則可以構造一元二次方程z2 - mz + m = 0. 方程有整數解，所以Δ ＝ （－ｍ）２ － ４ｍ ＝ ｍ２ － ４ｍ為完全平方式． 于是可設ｍ２ － ４ｍ ＝ ｋ２（ｋ∈Ｚ），所以ｍ２ － ４ｍ － ｋ２ ＝ ０． （＊）

此時方程（＊）有整數解，故Δ′ ＝ ｂ２ － ４ａｃ ＝ １６ ＋ ４ｋ２ ＝ ４（４ ＋ ｋ２）也為完全平方式，所以可設４ ＋ ｋ２ ＝ ａ２（ａ，ｋ均為整數），所以ａ２ － ｋ２ ＝ ４，即（ａ ＋ ｋ）（ａ － ｋ） ＝４ ＝ １ × ４ ＝ ２ × ２，所以可求得ａ ＝ ２，ｋ ＝ ０ａ ＝，ｋ ＝ ，不合題意）．

所以Δ ＝ ｍ２ － ４ｍ ＝ ｋ２ ＝ ０，故ｍ ＝ ４（ｍ ＝ ０不合題意，舍去），所以可以求得ｘ ＝ ｙ ＝ ２．

師：很好. 方程的思想是解決數學問題的重要思想方法之一，在這里得到了充分的展示，還有其他方法嗎？

生４：據等式xy = x + y，ｘ，ｙ為正整數，不妨設０ ＜ ｘ ≤ ｙ，則ｘ ＋ ｙ ≤ ２ｙ，又xy = x + y，所以ｘｙ ≤ ２ｙ，故ｘ ≤ ２，因此ｘ ＝ １或２，則得ｘ ＝ ２，ｙ ＝ ２（ｘ ＝ １，ｙ無解）.

師：這種解法真是妙. 實際上是運用了估算法，其思路比較簡潔. 可見一道題的解法是多種多樣的，但總有一種較為簡潔，就看同學們對基本方法的掌握與基本知識的熟悉程度了.

三、問題的討論

師：從以上可以看出，只要我們不斷思考，一道題的解法可以有多種，這就要求同學們在平時做作業時不能只滿足于做完題目，而應該多加探索. 哪名同學來對剛才的解題進行一下總結.

生５：解題方法主要用到了因式分解法、“多元”轉化為“單元”的思想方法、判別式法、根與系數的方法、換元法、待定系數法、估算法等，其中估算法是最簡潔的.

師：你說得很好. 只要同學們認真分析，就不難找到適當的解題方法.

例2 求滿足2y2 - xy - 10x + 5y + 1 = 0的整數ｘ，ｙ的值.

生６：很簡單，用因式分解法. 等式左邊變形得(2x-y)(x - 5) = -1．

這樣只有兩種情形2x - y = 1，x - 5 = -1或2x - y = -1，x - 5 = 1.從而x = 4，y = 7或x = 6，y = 13.

生７：還可以這樣做． 由（２ｘ － ｙ）（ｘ － ５） ＝ －１變為 2x - y =則y = 2x +. 又ｘ，ｙ為整數，只有x - 5 = 1或-1，則得解.

師：看來同學們能活學活用了. 事實上，剛才這道題就是老師由y = 2x +編出來的. 像這樣的形如c = b + 問題，要注意應用.

生８：看來許多難題都是老師由簡到繁，再由我們由繁到簡！

師：這種說法也有一定的道理，老師們在編題的時候，題目的原型往往都在課本上，只是不為同學們所知的是它們的變形罷了，萬變不離其宗.

例3 求滿足xyz = x + y + z的正整數解.

生９：用估算法較快. 類似前面，不妨設０ ＜ ｘ ≤ ｙ ≤ ｚ，則可得ｘｙ ≤ ３. 故ｘｙ ＝ １或２或３. 再結合題意，不難得到（ｘ，ｙ，ｚ）的一組解為（１，２，３）.

師：看來這些題，難不住大家了. 下面老師再來將題目作一變形.

４. 問題的總結

結合案例的學習，筆者認為在數學教學中，我們要注重學生的自主學習能力的培養，給學生以自主探索的機會. 事實上，要發展學生智力，培養學生能力，就要解決學生的參與度問題. 這就要求教師在整個教學過程中，應始終把學生放在主體位置. 教師的備課、組織教學、教學目的的確定、教學過程的設計、教學方法的選用等，都應從學生的實際出發，最大限度地使學生動口、動手、動腦，調動學生學習的積極性和主動性，使其養成良好的自學習慣，培養刻苦鉆研精神，促進學生主動參與、主動思考、主動探索、主動實踐. 通過適當的組織引導，把學習的主動權交給學生，讓學生自主觀察、嘗試、操作，和學生一起分享數學發現的快樂.

學生“會不會學習”是能不能學好知識的關鍵. 作為老師能否讓每一名學生“會學”是取決于他是否以學生自我發展為本，是否放手讓學生去主動學習. 因此必須擺正老師客體、學生主體的地位. 這樣通過自主探究性學習，學生可以探究得到更多重要的結論，也享受到更多探究成功的樂趣.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”