“看似遺憾，實卻精彩”的一堂數學課

筆者聽了一堂“線性規劃”課。從同行們的言語中，感受到對它的不屑。但在我眼中，這卻是一堂“看似遺憾，實卻精彩”的數學課?，F以其教學實錄為例，談談自己的感想。

1. 教學設計框架

2. 教學實錄

2.1構建數學模型

師：現在我們一起來解決實際生產中遇到的這么一個問題……(停留幾分鐘讀題、思考)

師：解決問題應該以什么作為突破口？

生：當然是所要求的問題。

師：對。那本題的問題是什么？能否具體一點？和哪些量有關？

……

師：這是一個實際問題，能否用數學語言來描述它們之間的關系？

生1：……

師：嗯，不錯。已知條件還告訴我們哪些信息？它們之間有什么聯系？能否也將它們轉化成數學語言？(詳細過程略)

師：對。具體來說，就是……

生：……

師：好?；剡^頭檢查一下還有沒有漏掉的條件？

生：好像沒有了，條件都用完了。

生：(恍然大悟)哦，還要注意x、y要有實際意義，還得非負。

師：很好!……這和我們以前見過的最值問題有什么不同？

……

師：對。變量最高次數都是一次……把這類問題稱為線性規劃問題。

生：(心情很愉快)哦！原來如此。

2.2 數學模型求解

2.2.1問題轉化

師：我們的問題轉化為在這個約束條件下，求z=3x+2y的最大值。怎樣求呢?

生2：前面我們學過這個約束條件它表示一個平面區域，先把平面區域表示出來再作打算。

師：還想到了什么？

生2：我在想：圖像和目標函數有什么聯系？一個是圖像，另一個是函數式。

師：你能發現這點已經很不錯了。(停頓一會兒)一個是形，一個是數，怎樣統一？

生3：(突然發現)z=3x+2y的圖像也是直線。

師：何以見得？能給大家解釋一下嗎？

……

師：能在坐標系下找出z的幾何意義嗎?

生4：將目標函數改寫成截距式……

師：很好！很好！到此我們所求的問題就可以轉化成怎樣的問題？大家能不能將其敘述一下？

生：問題就轉化為……

2.2.2具體求解

學生動手求解，師巡視，選擇具有代表性的三位學生在黑板上展示他們求解過程。生A圖像不正確且沒有答案，生B圖像與答案均不正確，生C全正確。

2.2.3反思優化

師請三位同學解釋解題過程，生A講述了自己的難點。

師：生C，你能給生A作示范，怎樣從圖像上看答案嗎？(稍后繼續提問)生B、生C為什么同樣的方法卻得到兩種不同結果呢？(生B通過自我反思，發現是作圖產生了誤差。)

師：(追問)為什么會發生誤差？

生B：因為我們作的是草圖，沒有嚴格用直尺來畫，所以產生誤差。

生5：如果都用直尺來畫，那不是很花時間嗎？

師：如何解決這個矛盾呢？(稍停)大家可以仔細想想，什么情況下發生誤差的可能性最大？

生：當……

師：嗯。不錯，直線靠得比較緊密的時候，用數學語言來描述就是……

生：就是斜率相差不大的時候。

師：非常好，抓住了問題的關鍵。事實上，我們作草圖時就需要抓住它們直線斜率的關系。尤其是過臨界點的時候……(師抓住機會，進行示范)

2.2.4思維發散

(1)本題還有沒有其他解法？這些解法可以推廣嗎？

(2)如果目標函數斜率變化，結合圖像，你能說出取得最大值的情形有幾種嗎？

2.3歸納總結

師生一起回顧建模、求解、反思過程，用精煉的語言總結出圖解法求解的步驟及注意事項。

3. 對本節課的幾點感悟

這堂課表面看確實有太多的遺憾：從課堂容量看，一節課僅僅講了一個題；從教學環節看，少了練習與鞏固這一重要環節；從高考備戰看，連高考題的影子都沒見。但從筆者的角度看，這才是一堂精彩的數學課，表現在以下幾點：

3.1重視數學模型的構建

在教學中，“線性規劃”往往被脫掉“應用”的外衣，用一個純數學的問題代替直接進行求解、變形。而本堂課正體現課標的理念，以“問題為紐帶”，引導學生如何將問題中涉及的信息用數學語言表述出來，如何構建一個數學模型。雖然本節課不是一堂真正意義上的數學建模課，但它這種“力求使學生體驗數學在實際問題中的作用”“重視學生數學建模能力培養”的意識是非常可貴的。

3.2重視學生的思維過程

“注重提高學生的數學思維能力”是高中課程基本理念之一。了解學生真實的思維過程是提高數學思維能力的關鍵。本堂課：(1)教師通過追問，如“何以見得？能給大家解釋一下嗎”去挖掘學生深層次的想法；(2)鼓勵學生“大聲地出聲想”，查找“受阻點”，如：生A，完成的情況很糟，但不是簡單否定，而是給他機會說出難點所在；同時也給完成情況好的生C機會，作了一次較高水平的示范。通過這些方式，充分暴露學生的思維過程，發現問題，同時使學生不斷對自己的思維進行反思調控，促進學生思維能力的提高。

3.3保持問題的復雜性，通過搭腳手架給予幫助

教師在教學過程中，始終保持問題的復雜性。當學生遇到困難時，(1)教師通過創設啟發性的問題，如：“已知條件還告訴我們哪些信息？它們之間有什么聯系”“一個是形，一個是數，該如何統一”，激發學生學習的主動性；(2)先讓學生去想，動手去“犯錯誤”，在學生“最近發展區”精心創設問題情境，引導學生走出“低谷”。如：“作草圖時要抓住直線斜率”這一環節，因為學生一般都習慣用描點法作圖，而不會從“斜率”這點去思考，所以教師就通過設置“什么情況下發生誤差的可能性最大”的問題，學生從中可以發現“直線靠得比較緊密的時候，發生誤差的可能性最大”，從而順利地將目光集中到“斜率”上了。

3.4重視學生反思

在教學過程中，教師不斷通過問題來促使學生反思。如“回過頭檢查一下還有沒有漏掉的條件？”在模型求解的最后一個環節，通過暴露問題和矛盾，促使學生對解題過程進行反思優化。最后對整堂課進行歸納總結，實際上也是一個反思的過程。

除此之外，教師也很注重及時反饋學生的回答，注重對學生成績的肯定，增強學生解決問題的信心。筆者認為，偶爾組織一下這種別開生面、令人耳目一新的數學課，何嘗不可呢？

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京:北京師范大學出版社，1999.

[2]喻平.數學教育心理學[M].南寧:廣西教育出版社，2004.

[3]張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海:上海教育出版社.

[4]王策三.教學認識論[M]. 北京:北京師范大學出版社.

(西南大學數學與統計學院)