淺論數(shù)學直覺思維及培養(yǎng)

一、 數(shù)學直覺概念的界定

簡單的說，數(shù)學直覺是具有意識的人腦對數(shù)學對象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區(qū)別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的對象則是抽象的數(shù)學結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上。感覺不久便會變得無能為力。例如，我們?nèi)詿o法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說：“這些富有創(chuàng)造性的家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活生生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來，就是所謂“直覺”，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

(2)直覺與邏輯的關(guān)系

一個數(shù)學證明可以分解為許多基本運算或許多“演繹推理元素”，一個成功的數(shù)學證明是這些基本運算或“演繹推理元素”的一個成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點到目的地的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實上，出發(fā)不久就會遇上岔路口，也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問題。

在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學習的興趣沒有被調(diào)動起來，得不到思維的真正樂趣。

二、 直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點，從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：

(1)簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調(diào)動自己的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰地觸及到事物的“本質(zhì)”。

(2)創(chuàng)造性

社會需要創(chuàng)造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經(jīng)驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的、發(fā)散的，使人的認知結(jié)構(gòu)向外無限擴展，因而具有反常的獨創(chuàng)性。

(3)自信力

學生對數(shù)學產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數(shù)學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數(shù)學本身。成功可以培養(yǎng)一個人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強的“自信心”。相比其他的物質(zhì)獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。

三、 直覺思維的培養(yǎng)

一個人的數(shù)學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺也是不斷提高的。”數(shù)學直覺是可以通過訓練提高的。

(1)扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉

直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底，是不會迸發(fā)出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其他東西的聯(lián)系取得了處理那個的足夠多的經(jīng)驗。對此你就會產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應該是正確的直覺。”阿達瑪曾風趣地說：“難道一只猴子也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?”

(2)滲透數(shù)學的觀點及審美觀念

直覺的產(chǎn)生是基于對對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴的把握事物的本質(zhì)。這些哲學觀點包括數(shù)學中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉(zhuǎn)化、對稱性等。美感和美的意識是數(shù)學直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數(shù)學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數(shù)學對稱的角度考慮，大膽地提出了反物質(zhì)的假說他還對麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說，如果一個物理方程在數(shù)學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學

教學中選擇適當?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)、考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇題中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性問題教學，也是培養(yǎng)直覺思維的有效。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。

四、 結(jié)束語

直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發(fā)展，伊思·斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話：“數(shù)學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學的魅力所在，也是數(shù)學者努力的方向。

（南陽工業(yè)學校）