也談優化解析幾何運算的方法

解析幾何教學內容的特殊性決定了解析幾何是培養良好計算能力所起的特殊作用，在解析幾何教學中不僅要培養學生運算的準確性，還要訓練、培養學生運算的迅速性和運算方法的合理性。教學中各種解題方法和思想的滲透是實現上述目標的必要條件。解題方法是否得當，常常導致解題的難易、繁簡程度的懸殊差異。因此在教學中要引導學生探求、優化運算的方法和技巧，滲透各種運算方法和思想，降低運算量，培養學生的思維品質，提高解題和運算能力，下面談談個人的一點想法。

一、 回歸定義

回歸定義是解數學題的常用方法，與圓錐曲線的焦點，焦半徑，準線有關問題，應聯想到圓錐曲線的定義，用第一定義或第二定義解決。

例1. 以知雙曲線16x2－9y2=144，設F1，F2是雙曲線的左、右焦點。點P在這雙曲上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

解析：涉及到焦點與半徑問題應考慮使用定義解題，由于2c=10以及||PF1|－|PF2|=2a 和|PF1|·|PF2|=32，知|PF1|2+|P F2|2=100=|F1F2|2，所以∠F1PF2=90°。

二、 設而不求的整體化處理

在圓錐曲線中，常會遇到兩曲線的交點及相關點的問題，若用通常的方法通過解方程組求得交點，往往運算量大且極易出錯。若采用該法使用整體思想，即可解答變得十分簡潔。

例2. 雙曲線x2－y2=1與直線L：y=kx+1相交于B、C兩點，且B、C兩點在以雙曲線的右頂點為圓心的同一圓上，求k的值。

解析：這是一道涉及到直線與圓錐曲線的交點的問題，解答時采取對交點設而不求的策略。

解：設B（x1，y1）C（x2，y2），

由方程組x2-y2=1與y=kx+1，得(1-k2) x2-2kx-2=0

當d=3/2時 此時點M到y軸的距離也最小。

四、 運用曲線系方程

曲線C1和曲線C2的方程分別為f1(x，y)=0，f2(x，y)=0。那么過C1和C2的每一個交點的曲線為f1(x，y)+m f2(x，y)= 0中，在解題中，合理運用曲線系方程，可化難為易，避開煩瑣的運算。

例4. 求過直線 x+2y－2= 0和圓x2+y2－2x－2y+1= 0的交點，并且經過原點的圓的方程。

分析：若先求出交點再求圓的方程，運算量大。可運用曲線系方程來解決。

解：因為所求的圓經過直線和已知圓的交點，故設所求圓的方程為(x2+y2-2x-

五、 巧用對稱，化繁為簡

解析幾何中許多問題都涉及到對稱，如光線反射，角平分線，垂直平分線等，巧妙運用對稱，可使思路明了清晰，問題化繁為簡。

例5. △ABC的一個頂點是A（3，-1），∠B，∠C的平分線分別是x=0，y=x，求直線BC的方程。

分析：在本題中，把角平分線的問題轉化成對稱問題，則能使思路清晰，避繁就簡(解略）。

六、 巧用韋達定理

解析幾何中涉及到弦長，弦中點，曲線與直線交點以及原點為垂足的垂直問題，運用韋達理可避免求交點坐標，簡化解題過程。

例6. 直線C：y=kx+1交拋物線y= x2于A，B兩點，當三角形AOB (O為原點)的面積為2時，求實數k的值。

分析：因直線C與y軸的交點為M(0，1)，而△AOB的面積等于△AOM和△BOM的面積之和，若△AOM和△BOM都以OM為底邊，這樣△AOB面積就與A，B兩點的坐標相聯系。

解：設A(x，y)，B(x，y)，則：

因為B(1，1)是M1、M2的中點，所以x1+x2=2，y1+y2=2 代入上式得，即kn=2。

若直線n存在，則方程為 y-1=2(x-1)，即：2x-y-1=0

把2x-y-1=0代入雙曲線方程中得，x2-4x+3=0。又因為其判別式△=-8＜0 ，

故此直線與雙曲線不相交，所以滿足條件的直線不存在。（貴州天柱三中）