利用平均不等式求函數的最值

均值不等式的定理：

如果a，b是正數，那么≥（當且僅當a=b時取“＝”號），我們稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數。

因此這一定理可以敘述為，兩個正數的算術平均數不小于它的幾何平均數。

本定理還可以按數列的方式來描述：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項。其中看做是正數的等差中項，看做是正數的等比中項。

均值定理的作用：

本定理的作用在于利用“≥”號來解決函數的最值問題。

例一：求證在周長一定的矩形中，以正方形的面積為最大.

說明：設矩形的邊長為a，b，周長為定值P，面積為S。則有2(a+b)=P，即a+b=（定值），S=a·b由平均不等式得：≤＝，兩邊平方得S＝a·b≤（定值），即面積S永遠不會大于，只有在a=b時，S才能等于。

從而證明了在周長一定的矩形中，以正方形的面積為最大。

例二：設a＞0，b＞0證明f(x)=ax+在x＞0的區間上，當x=時f(x)有最小值2。

證明：因為a＞0，b＞0，x＞0 所以ax＞0，＞0，由平均不等式得f(x)=ax+≥2＝2（常數）。

即f(x)永遠不少于2，僅在ax=-時等號成立，也就是此時f(x)有最小值：f(x)=2。

例三：已知a，b，c，d均為正數，求證：

(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd。

證明：由于a，b，c，d均為正數，則

≥＞0，

≥＞0。

因為·≥=abcd，

即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd。

例四：某工廠生產一批無蓋圓柱形桶，其容積是 mm2，做底的材料3元/m2，做側面的材料2元/m2，按照怎樣的尺寸制造，才能使成本最低？

解：設圓桶的底半經為rm，高為hm，圓桶的成本為S元，則依題意有：πr2h=π，h=，S=3πr2+2·2πrh。

將h=代入S，則有

S=3πr2+2·2πrh=3πr2+2·2π·=3πr2+=3πr2++≥3

＝9π（常數）。

可以看出S≥9π，若使S最小，只需要上式取等號方成立。

即當3πr2=+時，等號成立。

r=1時S最小。

也就是當底半徑r=1 m，高h=m時，圓桶成本最低。

注意的問題：

①本均值定理的前提條件是a，b均為正數.這是學生在解題過程中容易忽視的地方，應引起重視。

②定理a2+b2≥2ab和≥中a，b的條件是不一樣的，不能混為一談，前者中a，b∈R，后者a，b均為正數，因此在講授過程中，一定要講清楚這一點。

（1.鄧州市十林鎮郭溝小學；2.南陽市宛北中專）