淺談如何培養學生邏輯分類的數學思想

學生在數學學習過程中，運用邏輯分類的數學思想普遍存在著思維障礙。這里僅就邏輯分類思想的培養，談幾點粗淺體會。

首先，要讓學生牢固而準確掌握邏輯分類的概念。

在教學過程中，充分利用課本中分類的常規模型，從中升華出邏輯分類的概念，使學生由感知變為理性思考。

例如：高一《數學》（上）39頁，當a>0時，二次函數y=ax2+bx+c的圖像情況與二次不等式ax2+bx+c>0的解集情況小結。

在分析理解這些特點的基礎上，就可以進一步歸納出分類的一般規律，順理成章地提出邏輯分類的定義：設符合一定條件的對象的集合A，按對象的某一性質P，將A無遺漏無重復地分成若干個真子集A1，A2，……、An，即滿足（1）A=[][i=1]Ai，（2）Ai∩Aj=φ(i≠j，i=1，2，……，n，則稱A1，A2……，An為A的一個一級分類，若再對Ai再進行分類，就構成對A的二級分類，依次類推。由此，我們對邏輯分類可以做這樣的理解：邏輯分類就是將概念分為它包含的種概念。它是由劃分的母項（屬概念）、劃分的子項（種概念）和劃分的標準（依據）三部分組成。

其次，還要讓學生全面而準確地掌握邏輯分類的規則。規則有以下幾條：（1）全域的確定性。劃分要與屬概念的外延相稱，不能“大”，也不能“小”。（2）劃分的完整性。劃分必須按屬種包含層次進行。（3）分域的互斥性。劃分種概念必須互不相容。（4）標準的同一性。每次劃分必須按同一標準進行。（5）分域的逐級性。劃分必須按由“大”到“小”的順序進行。正確的劃分必須遵循這幾條原則，違背其中的任一條，都是錯誤的劃分。

第三，要讓學生掌握常用的分類的種類、方法以及標準。1.種類：根據劃分所包含的母項和子項的層次不同，劃分可分為一次劃分和連續劃分兩種。（1）一次劃分只包括母項和子項兩個層次劃分。（2）連續劃分是包括母項和子項三個層次的劃分。2.方法：根據每次劃分的子項的數量不同，劃分可分為二分法和多分法兩種。（1）二分法劃分是根據子項有無某一種差，一次將母項劃分為具有矛盾關系的子項的劃分；（2）多分法劃分是一次將母項劃分為三個以上子項的劃分。3.標準：（1）按定義、性質分；（2）按運算法則分；（3）按題目特殊要求分；（4）按圖形位置或形狀變化分；（5）按剩余類分。

第四，要讓學生了解適宜于運用邏輯分類思想解決的數學問題。常見的這類數學問題有以下幾種：（1）解某些方程或不等式；（2）討論參數的取值；（3）對數列進行分類，求通項與和；（4）化簡絕對值或討論函數性質；（5）排列組合；（6）圖形位置關系；（7）自然數分類。

要使學生真正掌握分類的數學思想，可以通過典型的例題，對學生進行引導。這里僅舉一例來說明。

例如：解關于x的不等式ax2-a2x-x+a<0。

分析：此不等式中含有參數a。首先，對a∈R分類，要區分a≠0是二次的與a=0是一次的情況；其次對a≠0分類，還要分a>0（開口向上）與a<0（開口向下）兩種情況；再次，當a≠0時，由原不等式得（ax－1）（x－a）<0，方程（ax－1）（x－a）=0的兩個根為x1=，x2=a無論a>0還是a<0，要求不等式的解，必須知道x1，x2的大小，要知道x1，x2的大小的關鍵在于準確地找出“分界點”，如何正確地找出“分界點”呢？方法是作差：x2-x1=a-=或者令a=，得a=1或a=－1，從而確定分界點為1和－1；第四，利用分界點分別對a>0與a<0進行分類。

（1）a>0時，如圖 1

（2）a<0 時，如圖2。

下面將整個分類過程及不等式的解表示如下（a∈R）：

a≠0a=0（解為：x＞0）

a＞0a=1(無解)

a＞1

（解為：＜x＜a）

a＜1（解為：a＜x＜

）

a＜0a=-1（解為：x∈R）

－1＜a＜0(解為：x＜

或x＞a)

a＜-1（解為： x＜a或x＞

）

從上例可以看出，邏輯分類思想，用于思路分析：（1）能使學生感到問題眉目清楚，層次分明；（2）能使學生通觀全局，不重不漏；（3）能使學生克服盲目討論的毛病。一般來說，解分類討論題的步驟為：（1）確定討論對象；（2）進行合理分類；（3）逐步討論；（4）歸納結論。

在培養學生邏輯分類思想的教學過程中，筆者有過以上的嘗試和體會，當然非常粗淺，還需要在以后的教學活動中繼續總結探討。（新鄭二中分校）