根據“新教材”進行習題備課

現行高中數學教材是《普通高中課程標準實驗教科書》（以下簡稱“新教材”）。新教材在給學生傳遞數學知識、與學生交流數學思想和培養學生數學能力方面都采用了“螺旋”方式遞進，獨具匠心。課文中適時地滲透了從人文史料到實踐應用等各種信息資料，以拓寬學生的學習視野，增進學生的學習興趣。課后的習題也分為“感受理解”、“思考運用”和“探究拓展”三個層次，以適用不同層面的學生需求。在教學實踐中，如何貫徹新教材的編寫意圖、實踐新教材中的新的教學理念、落實新教材的新要求，為學生的學習打開更大的空間是每個數學教師都必須直面的問題。本文僅以習題教學為例，談談“新教材”的備課，希同行指正。

新教材《選修2-2》第78頁習題第8題：

［題目］已知函數f （x）= ，對n∈N ，定義f （x）=f ［f （x）］，求f （x）的解析式。

教學參考書提供的解法如下：

解：f （x）= ，f （x）=f ［f （x）］=

f （x）= ，f （x）= ，f （x）= ，

f （x）= ，f （x）=x，f （x）= =f （x）

……

{f （x）}是以6為周期的周期函數列。

其通項公式為：

f （x）=f （x）（其中n=6k+r，k∈N，r=1，2，3，4，5，6）。

在備課時，我對這道題及其解答有如下思考：

1.本題中數列的周期為6，倘若周期是一個更大一些的數列，學生有耐心逐項找下去嗎？除非事先知道該數列是周期數列。

2.本節教材講授“合情推理”，即要求學生對n的若干初始值的情形進行歸納總結得出一般性的結論。但“歸納總結”并不是十分容易的事，有些題容易發現規律，有些題的規律很難找到。那么該題的教學功能如何發揮呢？于是，在備課時，我選擇了另外一道題作為例題：

［例1］已知數列{a }中，a =a，a （1+a ）=2a ，（n∈N ）求a 的值。

分析：數列的知識在高一已經學過，但僅學習等差數列和等比數列這兩類特殊數列。而由遞推關系a = 給出的數列顯然既不是等差數列又不是等比數列。怎么辦呢？

有兩條路可以嘗試：

思路一：能否采用剛學習的“歸納推理”解決？

思路二：能否將數列轉化為“等差、等比”數列解決？

解法一：a =a，a =

a = =

a = =

a = =

……

a =

解法二：考慮到a = 中分子僅有一項，兩邊同取倒數后易于“裂項”變形。

∴ = =+1

-1=-1

∴ = #8226;

∴ 是以 為公比的等比數列，首項為 = 。

∴ =

a =

解法一中規律明顯，特征清楚，易于歸納，作為方法介紹絕佳。解法二中新數列的構造比較巧妙，不容易掌握，需進一步探索新數列的結構與題中遞推關系之間的必然聯系。

探索：在遞推關系a = 中，若將a 、a 都以x代之，可得關于x的方程x= ，解得其根為0和1，對照新數列 的結構可得以下猜想：

猜想一：若數列{a }的遞推關系式中的a 、a 都以x取代后，所得方程的根為α、β，那么數列 可能是特殊數列。

改變［例1］中遞推關系式中的系數，會怎么樣呢？

變題1：已知f （x）= ，f =f ［f （x）］（n∈N ），求f （x）的解析式。

變題2：文中開頭［題目］。

對這兩個變題，用［例1］中的解法解答，結果是：變題1用解法一來解，規律不明顯，不易歸納；用解法二來解，可構造出等比數列。變題2用解法一來解，即教學參考書中提供的解法，發現是一個周期數列；用解法二來解時，發現相應方程x= 無實數根。于是可得以下猜想：

猜想2：若數列{a }的遞推關系式中的a 、a 都以x取代后，所得方程無實數根，那么數列{a }可能是周期數列。

課后的練習與思考：

1.設n∈N ，f（x）=2（1-x）（0≤x≤1）（x-1）（1＜x≤2），定義：f （x）=f{f［…f（x）…］}，求f的值。

2.設f （x）= ，定義f （x）=f ［f （x）］（n∈N ），求f （x）的解析式。

3.學有余力的學生可考慮上述兩個猜想的正確性研究。

新教材在課后的習題編寫中，許多題目寓有深意。使用中，我有以下幾點反思：

反思一：教師在備課中不應停留在解出該題讀懂了該題的解答的低層次上，而應當繼續進行解題分析、解法優化。教師這樣做了，即使是一道很淺顯的題目也會使學生獲得很珍貴的思維營養，而且能培養學生主動學習的意識。

反思二：教師和學生在閱讀新教材，做習題時要注意“從整體到個別，再從個別到整體”的思維能力的鍛煉，并要注意及時做好歸納總結的工作。例如在上文中我們以［例1］為基點，實踐了新知識的運用，又探求了求數列通項公式時的轉化思想，再通過兩個變題，對猜想的正確性予以驗證。從方法上再次實踐了“從個別到整體”的思想，最后上升到理論，引導學生對兩個“猜想”的正確性進行思考與探索，把學習從課堂衍生到課外。這說明教師和學生使用新教材的過程不是一個被動接受的過程，而是根據自身知識經驗主動建構的過程。

總之，學生學習成功，關鍵在于教師的引導；教師教學成功，關鍵在于備課。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”