淺談抽象函數的解題思路

一、 利用特殊模型的解題思想

在中學函數部分教材中可以找到一些抽象型函數的特殊模型，充分利用這些模型解題，既可使學生掌握解決數學問題的規律，培養了解題能力，又使學生體會到人們對事物的認識，總是在感性認識的基礎上，通過抽象概括上升為認識認識再認識，最終提示事物的本質，這樣一種認識規律。

1. 利用特殊模型直接解抽象函數客觀題

（A）奇函數非偶函數，（B）偶函數非奇函數， （C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇函數非偶函數

分析：由三角公式聯想，令f(x)tanx，再計算f(x1-x2)與f(x2-x1)，比較得（A）成立。

評注：借助特殊函數直接解抽象函數客觀題是常用的解題處理方法，可以迅速得到正確答案。

2. 借助特殊模型為解抽象函數問題鋪路

對于抽象函數解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解題意，同時，對于有些對應的特殊模型不是學生熟悉的基本初等函數的抽象函數解答題，要啟發學生通過適當變通去求特殊模型，從而得到抽象函數問題的求解方法。

例2. 設函數f(x)是奇函數，對任意x，y?綴R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)、f(1)=-2且當x>0時，f(x)<0，求f(x)在[-3，3]上的最大值與最小值。

解：分析：取特例函數f(x)＝-2x，欲求函數f(x)在[－3，3]上的最值，只要證明函數f(x)在R上為遞減函數即可，設x1>x2>0，?專f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)+f(x1-x2)，∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)，?專f(x1-x2)>0，∴f(x1-x2)<0，因而f(x1)

二、 利用函數性質的解題思想

函數的特征是通過各種各樣的性質反映出來的，抽象函數也不例外，只有充分利用題設已表明或隱含的函數，運用適當的數學方法，才能順利解決抽象型函數問題。

1. 利用奇偶性，整體思考

例3. 已知函數f(x)＝ax3+bsinx+3，求f(3)的值。

分析：f(x)的解析、式中含有兩個參數a、b，卻只有一個條件f(-3)＝7，無法用待定系數法確定a、b的值，因此解析式不確定，注意到?準(x)=ax3+bsinx=f(x)-3是奇函數，可得?準(-3)＝-?準(3)，即f(-3)-3=[f(3)-3]，f(3)=6-f(-3)=-1。

評注：這種解法運用了整體思想，優化整體為局部，再由各局部的解決使整體問題得解。

2. 利用單調性，等價轉化

例4. 已知函數f(x)在定義域（-∞，1）上是減函數，問是否存在實數k，使f(k-sinx)?叟f(k2-sin2x)對一切實數x恒成立，并說明理由。

分析：由單調性，脫掉抽象的函數記號，原不等式等價于：k-sinx?燮k2-sinx?燮1，最后可求得：存在k=-1適合題設條件。

評注：抽象函數與不等式的綜合題常需利用單調性，脫掉函數記號。又如：

4. 利用對稱性，數形結合

例5. 已知函數f(x)對一切實數x都有f(2+x)=f(2-x)，如果方程f(x)＝0恰好有四個不同的實根，求這些實根之和。

分析：由f(2+x)=f(2-x)知直線x=2是函數圖像的對稱軸，又f(x)＝0有四根，現從大到小依次設為x1，x2，x3，x4，則x1與x4，x2，與x3均關于x=2對稱，∴x1+x4＝2×2=4∴x1+x2+x3+x4=8。

評注：一般地，若函數f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)，則直線x=a是函數圖像的對稱軸，利用對稱性，數形結合，可使抽象函數問題迎刃而解。

三、 利用特殊方法的解題思想

對于用常規解法難以解決的數學問題，若利用一些特殊的數學思想方法求解，有時會收到事半功倍的效果。

1. 合理賦值，構造方程

例6. 已知函數f(x)滿足f(xy)＝f(x)+f(y)對任意x，y?綴R成立。

評注：方程觀點是處理數學問題一個基本觀點，挖掘隱含條件，合理賦值，構造方程（組），化函數問題為方程問題，可使這類抽象函數問題迅速獲解。

2. 正難則反，逆推反正

例7. 已知函數f(x)在區間（-∞，+∞）上是增函數，a，b?綴R，若f(a)+f(b)?叟f(-a)+f(-b)，求證：a+b?叟0

分析：欲證上述命題，正向推理，不易用上題設條件，轉而逆思考。

若a+b<0，則a<-b，b<-a，據單調性f(a)

評注：本題若用直接法，顯然無從下手，但若考慮用反證法，則問題很快解決。正難則反是處理“是否存在”型抽象函數問題的常用方法。(山東省沂水四中)