基于虛擬樣機的機械臂動力學建模與仿真
2009-01-01 00:00:00王文璽肖世德孟孟祥印張衛華
計算機應用研究 2009年1期
(西南交通大學 a.智能機電技術研究所; b.牽引動力國家重點實驗室， 成都 610031）
摘 要：基于多剛體動力學的原理，在分析機械臂的運動學和拉格朗日動力學方程的基礎上求解其雅可比矩陣，并采用虛擬樣機技術建立了機械臂的三維仿真模型，進行了動力學分析，獲得了機械臂的動態特性。通過將獲得的動態特性還原到模型中，建立了基于可視化技術的機械臂運動姿態的計算機動畫，逼真地模擬了機械臂的整個運動過程，檢驗了機械臂動力學模型的相關性能。
關鍵詞：機械臂； 動力學仿真； 虛擬樣機； 計算機動畫
中圖分類號：TP391.41 文獻標志碼：A
文章編號：10013695(2009)01010503
Dynamic modeling simulation ofmechanic arm
based on virtual prototype
WANG Wenxia， XIAO Shidea， MENG Wena， MENG Xiangyina， ZHANG Weihuab
（a.Institute of Intelligent Mechatronic Technology， b.Traction Power State Key Laboratory， Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031， China)
Abstract:Based on principle of multirigid body kinematics and Lagrange dynamical equations of mechanic arm， it’s Jaccobi matrix had been solved and the 3D simulation model had been proposed to analyze the simulation of dynamics and obtained the dynamicalcharacteristics by using virtual prototype. The computer animation of mechanic arm based on computation visualization technology was found， it had been proved by remapping the dynamic characteristics to the virtual model that the dynamic model and properties of the mechanic arm were reliable and efficient.
Key words：mechanic arm; dynamical simulation; virtual prototype; computer animation
隨著工業機器人技術的發展，其應用已擴展至宇宙探索、深海開發、核科學研究和醫療福利領域，工業機器人的適用性、系列化和標準化工作將進一步展開。由于傳統的經驗設計和靜態研究方法存在較大的局限性，探索相關的理論體系，研究工業機器人的動態特性十分必要。機械臂是工業機器重要組成部分，它由肩、臂、腕、機身或行走機構組成，組合成一個互相依賴的運動機構[1]。
1 機械臂運動學分析
1.1 運動學方程
在機構運動學研究中，將坐標系固聯于桿件之上，這樣的坐標系叫做體軸系。它相對于慣性系的運動稱為絕對運動，相對于相鄰體軸系的運動稱為獨立運動。可以用各個體軸系的原點相對于參考系的矢徑來描述桿件的移動，通過各個體軸系相對于參考系的方位來描述桿件的姿態。
機械臂由一串轉動或平移關節連接的剛性構件組成，每一對相鄰桿件通過簡單副構成一個自由度。因此，n個自由度的開鏈串聯機構就有n對關節—桿件。其中，機械臂由三個轉動關節和三個桿件組成，為三自由度機械臂[2]。
將底座坐標作為機械臂的參考坐標系，機械臂的運動學方程即建立臂端相對于底座坐標系的空間姿態，以關節轉角θi(i =1，2，3)為關節變量，由運動學逆解得到各關節的轉角。建立底座坐標系oxyz（用S表示），坐標原點o在底座質心，z軸與重力方向相反，x軸正向指向屏幕方向，y軸方向由右手規則確定。機械臂連桿坐標系oixiyizi(i=0，1，2)由DenavitHartenberg方法確定，如圖1所示，DH參數如表1所示。
確定了連桿坐標系，并通過DH方法獲得了關節參數與關節變量后，就可以直接推導出機械臂運動學方程。相鄰坐標系的DH變換矩陣為i1 Ai=Rz，θTz，dTx，aRx，a。確定第i坐標系相對于底座坐標系的位置的齊次變換矩陣 0Ti是各齊次變換矩陣 i-1Ai的連乘積：
0Ti=0A1 1A2… i-1Ai
sT3= sA0 0A1 1A2 2A3=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001 (1)
其中 sA0=1000010l000100001(2)
式（1）即為運動學方程。通過建立運動學方程得到了機械臂端點相對于底座坐標系oxyz的姿態。Pi(i=x，y，z)為機械臂端點相對于底座坐標系oxyz的位置坐標，則有
px=cos θ1[l2 cos θ2+l3 cos(θ2+θ3)]
py=sin θ1[l2 cos θ2+l3 cos(θ2+θ3)](3)
pz=l3sin (θ2+θ3)+l1+l0
1.2 機械臂臂端運動軌跡規劃
根據運動學方程，由運動學的逆解可建立各個關節變量 θi(i=1，2，3)與機械臂端坐標pi(i=x，y，z)間的對應關系，通過對各個關節變量θi(i=1，2，3)的調節、設定，即可實現對機械臂的運動姿態控制。由式(3)可得
θ1=arctan(py/px)
θ2=arccos [(pz-l1-l0+p2x+p2y+l3)/l2]
(4)
θ3=arcsin(pz-l1-l0)/l3-θ2
機械臂端軌跡規劃即確定機械臂端在工作空間中經過的軌跡。該軌跡應滿足一定的約束條件，即起點和終點的位置、速度和加速度，使得機械臂在運動的初期和末期臂端速度和加速度較??；在運動的中期臂端速度和加速度較大。運動軌跡的描述可通過起始點和終止點的平滑函數來表示。Pi(t)(i=x，y，z)采用五次多項式函數，Pi(t)=a0+∑5n-1antn分別對Pi(t)進行臂端軌跡規劃，由約束條件確定系數ai(i=0，1，…，5)的值。
2 機械臂動力學分析
2.1 雅克比矩陣
雅克比矩陣也稱做一階影響系數，在機器人運動學中具有重要的地位，它建立起機器人關節速度和機器人終端操作器速度在基礎坐標下的關系。雅克比矩陣只與機構的運動學尺寸及原動件位置有關，它反映了機構位形的狀態，當位形改變時，它也會隨之改變[3]?？梢园蜒趴吮染仃嘕寫成如下分塊矩陣：
J=JLJA=JL1JL2…JLnJA1JA2…JAn
其中：JLi為第i關節變量引起的三維線速度系數，JAi為第i關節變量引起的三維角速度系數。對于轉動關節：
JLi=bi-1×ri-1 JAi=bi-1
其中：bi-1取自zi-1軸的方向；ri-1為一個三維位置矢量，起點在Oi-1，終止于On。其中Oi-1和On代表i-1及最后坐標系的原點。
2.2 動力學方程
機械臂的動態性能由動力學方程進行描述，它建立步行機的各個關節驅動力矩與運動參數（桿件轉動的角速度和角加速度）間的關系[4]。機器人的拉格朗日動力學方程為
Fi=d/dl(E/i)-E/qi+ψ/qi (i=1，2，…，n)(5)
其中：E為系統動能；ψ為系統勢能；qi為描述系統的廣義坐標；Fi為在廣義坐標方向的廣義力；n為系統的廣義坐標數。設連桿i的質心在基準坐標系下的移動速度和轉動速度向量分別為
vci=J(i)L，ωi=J(i)A
(6)
其中：矩陣J(i)L是與第i個連桿重心位置的移動速度相關的雅克比矩陣，J(i)L=[J(i)L1，…，J(i)Li，0，…，0]；矩陣J(i)A是與第i個連桿轉動速度相關的雅克比矩陣，J (i)A=[J(i)A1，…，J(i)Ai，0，…，0]，則有系統的動能為
E=(1/2)∑ni=1(miTJ(i)TLJ(i)L+TJ(i)TAIiJ(i)A)=TH/2
(7)
式(7)中，矩陣
H=∑ni=1(miJ(i)TLJ(i)L+J(i)TAI，J(i)A)(8)
系統的勢能為
ψ=∑ni=1migTr0，ci， ψ/qi=∑nj=1mjgTJ jLi(9)
將式(7)(9)代入式(5)，同時考慮末端作用力Q有
Fi=∑nj=1Hij+∑nj=1∑nk=1hijkk j+Gi+f(10)
式(10)中：f指作用于系統末端的作用力，通過雅克比矩陣的轉置傳遞到關節， f=JT(q)Q
hijk=Hij/qk-(1/2) Hjjk/qi，Gi=∑nj-1mjgTJ(i)Li(11)
3 虛擬樣機模型建立及仿真分析
虛擬樣機是建立在仿真計算機上的產品或系統模型，它與物理樣機相比，在功能和性能上具有本質上的一致性。它用精確的數學模型描述物理樣機的各個部分以及整個樣機。由于采用虛擬樣機可以方便地進行反復修改與實驗，直至達到滿意的性能指標，可有效縮短產品開發周期，降低產品開發成本[5]。
3.1 機械臂虛擬樣機模型的建立
機械臂虛擬樣機模型的建立分為兩個步驟：建立機械臂部件的三維實體模型；按照真實的受力、功能和連接關系將部件組合成目標模型。機械臂的三維實體模型包括底座、連桿、轉動軸、地面共八個部件。底座的半徑與高度尺寸為400×300 mm，機械臂半徑與臂長尺寸為200×1 000 mm，總量為20 kg，臂的質心位于臂長的中心位置，臂的轉動慣量為0.90 kg/m2。每條臂與兩個轉動關節相連接，臂與底座間各關節間用鉸接副約束，整個機械臂為開鏈機構。簡化條件為底座及機械臂均為均質剛體；忽略關節間的摩擦力。
為方便制作機械臂運動姿態的計算機動畫，實現全方位運動姿態動態觀察，機械臂虛擬樣機模型采用SGI公司推出的圖形應用程序接口OpenGL并結合VC++平臺來建立。OpenGL具有建模、變換、光線處理、色彩處理、動畫以及其他更先進的高級圖形處理能力，如紋理映射、物體運動模糊效果等，可以制作真實感非常強烈的三維立體圖形。機械臂虛擬樣機的模型如圖2所示。
3.2 仿真結果分析
仿真分析前有必要對樣機模型進行檢驗，排除建模中隱含的錯誤，保證仿真分析順利進行。模型檢驗的內容包括：a)檢查不恰當連接、沒有約束的構件、樣機的自由度等；b)進行裝配檢查，檢查所有的約束是否被破壞或者被錯誤定義，有助于糾正錯誤的約束；c)進行動力學仿真前先進行靜態分析，排除系統在啟動狀態下的一些瞬態響應。
圖3為運動周期T=5 s，采樣間隔時間Ts=0.1 s，手臂前端目標位置為(px=1.6 m，py=1.0 m，pz=0.5 m)時機械臂各關節變量的仿真結果。圖4為運動周期T=5 s，采樣間隔時間Ts=0.05 s，手臂前端目標位置為(px=1.6 m，py=1.0 m，pz=0.5 m)，關節變量初時值為(0，45°，-45° )時機械臂各關節變量的仿真結果。
由得到的結果對比可以看出，圖3在Ts=0.1 s時的仿真曲線結果中，機械臂的末端出現了明顯的抖動，這是因為在控制的每個采樣周期中速度假定是不變化的，而在實際情況中速度是實時變化的。采用歐拉算法來進行數值求解相當于用大量的小矩形去逼近曲線的積分，顯然數值誤差是存在的、不可避免的。但是可以通過減小運動速度和采樣周期來提高運動的規劃精度。圖4在Ts=0.05 s時所得到的仿真曲線運動軌跡平滑、穩定。
4 機械臂運動姿態計算機動畫建立
將仿真計算得到的各關節運動量與采樣時間一一對應，可以計算機動畫的形式再現機械臂虛擬樣機的整個運動過程。通過設定程序的定時器與采樣間隔時間保持一致，利用OpenGL提供的雙緩沖機制重繪當前采樣時刻的機械臂姿態，就可以逼真模擬出機械臂虛擬樣機的運動姿態來。通過模型轉換和視口轉換，可以在適當的位置構建場景，并能夠在任意角度觀察對象。機械臂虛擬樣機的計算機動畫截圖如圖5所示。
5 結束語
虛擬樣機技術已成為機械系統設計、分析、研究以及人員培訓不可缺少的重要手段，尤其是對于一些高成本和高風險的實驗，虛擬樣機技術更顯示出極大的優越性。本文采用虛擬樣機技術建立了機械臂的動力學模型并進行動力學仿真分析，獲得了機械臂的運動學和動力學信息；結合作為虛擬樣機支撐技術的可視化技術制作成計算機動畫，通過對仿真結果的分析、對比，為機械臂的進一步設計、實驗提供了重要依據。
參考文獻：
［1］杜中華， 王興貴，馬吉勝. 基于虛擬樣機技術的某型火炮開閂過程動力學特性研究[J].機械工程學報，2004，40(6):123126.
[2]譚建榮，王政，劉振宇.基于可視外部力/力矩隱喻工具的虛擬樣機動力學交互分析方法[J].計算機學報，2004，27(11):14641469.
[3]雷靜桃，高峰，丁靖.基于虛擬樣機技術的四足步行機的動力學建模與仿真[J].系統仿真學報，2007，19(8):17331735.
[4]馬繼峰，彭曉源，丁瑩，等.虛擬樣機可視化支撐平臺的研究與實現[J].系統仿真學報，2005，17(2):367370.
[5]付京遜，岡薩雷斯，等.機器人學[M]. 4版. 北京：中國科學技術出版社，1989.
[6]GHIRINGHELLI G L，MASARTI P，MANTEGAZZA P. Multibody analysis of a tiltrotor configuration[J].Nonlinear Dynamics，1999，19(5):333357.
