新課標 新理念 新課堂

新課標實施幾年了，廣大數學教師不斷更新理念，改進教法，在課堂教學中大力培養學生積極主動、動手實踐、勇于探索、合作交流的學習方式.這種理念在高一高二年級的數學教師中已漸漸形成共識，并不斷落實，但在高三數學復習課中還未能充分體現.不少高三教師認為高三主要是復習，課堂上要追求所謂大容量快節奏，沒有太多的時間給學生去探究、去實踐.其實，要 應對不斷改革的高考模式，首先要有新的高三數學課堂.由此在高三數學復習教學中，我們也要用新課標的教學理念精心設計課堂教學，使數學教學過程成為師生交往、共同發展的互動過程，成為在教師引導下學生的“再創造”過程.這對新課標下的新高考要求是非常有益的.本文通過幾個高三課堂復習教學實例，談談我的一點認識，供大家參考.

一、改善方法，培養學生主動學習的習慣

例1 若f(x)=1+x2，a≠b，求證|f(a)-f(b)|<|a-b|.

教師在學生課前預習的基礎上，讓學生充分展示自己的思路.

學生1：易見即證|1+a2-1+b2|<|a-b|.通過兩邊同時平方即轉化 為證明(1+a2)(1+b2)>1+ab，若1+ab<0，顯然成立，若1+ab≥0，再通過兩邊同時平方易證得.

學生2：對|1+a2-1+b2|<|a-b|，可采用分子有理化的方法轉化為證明|a2-b2|1+a2+1+b2<|a-b|，即證|1+a2+1+b2|>|a+b|，再采用放縮法或兩邊同時平方的手段不難得證.

經調查全班有22位同學采用方法1，24位同學采用方法2，少部分同學使用了兩種方法.

教師評析：這兩種方法是我們處理二次根式問題常用的兩種手段——通過平方或有理化的手段去根號，將問題轉化為有理式的問題.還有其它處理方法嗎?(學生思考片刻)

學生3：聯想處理r2-x2時，可以設x=rsinθ從而去根號的方法，在這里令a=tanα，b=tanβ，α，β∈(-π2，π2)，α≠β，即轉化為證明|secα-secβ|<|tanα-tanβ|(下略).

教師評析：這種類比聯想的意識非常好!

學生4：由f(a)-f(b)a-b聯想到兩點連線的斜率，而y=1+x2，即y2-x2=1(y>0)表示等軸雙曲線的上支，故而f(a)-f(b)a-b表示該曲線上兩點(a，f(a))(b，f(b))連線的斜率，結合圖形不難說明結論成立(下略).

教師評析：數形結合，勇于探索.

學生5：由1+x2聯想到兩點間距離公式，故可設兩點A(1，a)，B(1，b)，要證明|1+a2-1+b2|<|a-b|，即證||OA|-|OB||<|AB|(下略).

妙!

學生6：也可以利用向量來證明(略).

新課程基本理念中強調注重提高學生的數學思維能力，養成獨立思考、積極探索的習慣.在課前預習時，只有少數同學想到方法3(三角換元)，但在課堂教師的追問下(“還有其它處理方法嗎?”)思路稍激即活，有三十多位同學都想到了三角換元，在方法3的基礎上，有半數以上的同學想到用數形結合的方法或向量的方法，這說明高三學生對待作業只習慣于“做了”，而不考慮“為何這樣做”和“還能怎樣做”，滿足于“量”而不考慮“質”，作為高三教師不能只顧進度，應鼓勵學生在學習過程中，主動探尋寬松、廣闊的思維空間，養成獨立思考、積極主動、勇于探索的習慣，這樣才能觸類旁通，舉一反三，這是高校選拔人才的需要，更是學生對數學整體的認識.

二、注重聯系，提高學生對數學整體的認識

例2 若0

課前預習后有如下兩種考慮角度.

學生1：我首先將原分式形式轉化為整式不等式的證明，即證明(a+1)(b-b2)<1，但未能繼續進行下去.

學生2：我原來也與同學1的想法一樣，也沒能繼續往下證，抱著試試看的念頭，由0bb+1，進而再試著證明bb+1>b-b2，沒想到用比較法還真的證出來了.

原先沒能完成的同學不禁都感慨道：原來如此簡單!問及他們的思維主要障礙都是“沒想到這么簡單”，有的同學甚至已寫出了“1a+1>bb+1”，但沒繼續下去，理由就是“不會這么簡單的”.

教師評析：這兩種思路都是非常正常的思路，在復習中不要人為的將問題復雜化，一切先從簡單處入手，在問題的處理過程中不斷調節.

方法1如此自然，難道真的不能繼續進行下去了?各位同學先獨立思考，然后各學習小組討論，同時各小組再研討是否有其他處理方案.教師參與一些小組討論，片刻后，先后有不少小組已有了處理方案.

學生3：要證明對適合條件的a、b，不等式(a+1)(b-b2)<1恒成立，聯想到在函數中常涉及恒成立問題，故而想到用構造數的方法：將不等式的左邊看作關于a的函數：f(a)=(b-b2)a+b-b2(0

學生4：我們是選b為主元，構造二次函數：f(b)=-(a+1)b2+(a+1)b(0

教師評析：多元問題常選定主元，轉化為函數問題.

學生5：我構造函數：f(a)=1a+1(0f(1b)=bb+1，進而只需證bb+1>b-b2即可，下面同方法1.

教師評析：這其實正是方法1的數學本質.

學生6：條件易化為00成立.易由△<0得證.

教師評析：多么美妙的構建過程!將a、b間的不等量關系轉化為一個等量關系 ，從而用消去法解決問題.

新課程理念中強調要讓學習過程成為在教師指導下的“再創造”過程，這種構造函數或構造等量關系的過程正是一種“再創造”過程.由此，在高三復習課上應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識遷移和應用，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力.在復習中尤其要注重函數、方程、不等式的聯系；向量與其他知識的聯系；數與形的聯系等，這樣才能實現“再創造”過程.

同時倡導合作交流，合作交流的品質是學生終身發展所必須的品質，我們在高三復習中要有意識的去培養.

三、拓展遷移，加強學生的數學探究意識

例3 從拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0，y0)作兩條互相垂直的弦PA、PB，那么直線AB必過定點.(稱∠APB為過定點的直周角)

此題得證后

教師：還有什么曲線有此性質?

學生異口同聲：圓!動直線過圓心.

教師：由這兩種曲線都具有這種性質，你們有何“大膽”的想法?

學生：將結論拓廣到橢圓和雙曲線!由此有以下問題設計：

“曲線C：mx2+ny2=1過定點P(x0，y0)的直周角∠APB的所對的弦AB是否恒過定點?”

教師：還有其他猜想嗎?(學生經思考和小組討論，排除肯定不正確的猜想，又有以下問題設計)

“若∠APB不是直角，而是其它一確定值，弦AB是否恒過定點?”

經研究，結論都是肯定的.(限于篇幅這里省略證明過程)

例4 過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，經過點P和拋物線頂點的直線交準線于點M.求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸.

學生有以下探究：是否可以把它推廣到橢圓或雙曲線的情況呢?

問題設計：過橢圓焦點的一條直線與其交于兩點P、Q，經過點P和橢圓與焦點相應的長軸的一個頂點的直線交準線于點M，判斷直線MQ是否一定與橢圓的對稱軸(長軸)平行.

學生通過特殊化處理——PQ為通徑的情況，容易看出顯然不可能有MQ與長軸平行.同樣對雙曲線情形也不可能有MQ平行于實軸.即是說這樣的性質只適用于拋物線.

新課程基本理念強調：要力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.在高三復習中要在創新、求活的發展變化中才能真正提高學生的數學素質，培養學生的勇于探究、勤于鉆研的精神和品質，這樣才能培養學生的發散思維，提高創新能力.

四、聯系實際，發展學生的數學應用能力

例5 把一根圓木加工成橫截面為矩形的木柱(以下簡稱木柱)，問怎樣鋸法可廢棄的木料最少?

建模：根據題意，廢棄的材料=圓木材積(定值)-木柱材積，顯然要使廢棄的材料最少，\\=只要使木柱的體積最大，即橫斷面矩形ABCD的面積最大，從而轉化為

數學問題：求內接于直徑為d的⊙O的面積最大的矩形.

若設AB=x，則BC=d2-x2，得模型：x為何值時，函數S=xd2-x2取最大值(下略).

例6 已知：x、y、z∈R+，求證：x2-xy+y2+y2-yz+z2>z2-zx+x2.

學生們的第一反應是通過平方進行轉化，但望而卻步.聯想到三角形中的余弦定理，這三個根式分別變為：x2+y2-2xycos60°，y2+z2-2yzcos60°，z2+x2-2zxcos60°，由x、y、z∈R+，可以構造一個三棱錐P-ABC，三側棱長PA、PB、PC分別為x、y、z，且三側棱兩兩夾角均為60°，易見上述三個根式即表示△ABC三邊長，由三角形兩邊之和大于第三邊證得結果.

新課程基本理念之一就是要促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力.而數學模型方法的教學也是培養學生應用意識的有效途徑.數學家懷德海說：“數學就是對于模式的研究”.在高三復習中，重視數學建模和模型方法的教學，使學生深刻領會數學的應用價值，激發學習的自覺意識，同時促進學生溝通各類知識之間的內在聯系，培養認識問題的獨到見解和與眾不同的思考方法，為塑造更多更好的“創新型”人才提供必備的基礎.

總之，在高三數學復習教學中，我們要更新教學觀念，用新課程教學理念指導課堂教學，不斷激發學生積極思考、主動探究和大膽創新的意識，培養學生的科學素養和創新思維習慣，提高學生的數學素質，培養數學能力.