高三解題教學思維的五個層次

當前高三復習課中常見的一個弊端是每節課教師設置的內容多、任務重，所以教師只能關注學生的解題結果，而無力細察學生的思維過程，這樣導致學生深陷題海無力自拔，復習效果低下.如何調動學生思維積極性，使他們參與到數學知識體系和思想方法的構建中來，提高復習的有效性是每個高三教師面臨的重要課題.本文就高三復習時一節習題課中提升學生思維層 次的嘗試談點自己的感悟.

題目 過點P(3，0)作直線l，使它被兩條相交直線l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截得的線段恰好被P點平分，求直線l的方程.

思維層次一 模仿 練習

模仿練習是模仿性的思維活動，是為鞏固所學內容，在教師的引導下機械地套用公式、定理，特別在課堂教學中，多以講練結合的形式，是反饋課堂教學效果的最簡捷的方法，在這一過程中關注的是知識和技能的認識和鞏固，培養學生的辨別、識記能力，在這一思維層次，思維含量低，是學生處于學習的起始階段.

解法1：設直線l與l1，l2的交點分別為A，B，且l的方程為y=k(x-3)，則有y=k(x-3)

2x-y-2=0和y=k(x-3)，

x+y+3=0，得A(2-3k2-k，-4k2-k)，B(3k-3k+1，-6kk+1).因P是A，B中點，由中點坐標公式得2+3k2-k+3k-3k+1=6，解得k=8.當斜率k不存在時，易得A(3，4)，B(3，-6)，此時A，B的中點不是P(3，0)，故直線l的方程為y=8(x-3).

解法2：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可得2x1-y1-2=0，

x2+y2+3=0，

x1+x2=6，

y1+y2=0，解得A(113，163)、B(73，-163)，根據直線方程的兩點式得直線l的方程為y=8(x-3).

感悟：對于求直線方程，常用的有兩種方法：一是點斜式，二是兩點式.解法1采用了點斜式，目的是求直線的斜率，但計算量較大，特別當直線斜率不存在的情況，很 容易被忽視；解法2采用了兩點式，通過方程組求出交點.這兩種解法都是在教師講評直線方程求法的基礎上，結合本題的特點來實施，雖然具有較強的模仿性，但注重落實求直線方程的通法與中點坐標公式的應用.

思考層次二 感受 理解

感受與理解是學生在感悟知識的產生背景、知識的形成與發展過程中，進一步加深對知識的理解.在思維活動過程中，學生除了靈活地運用所學知識解決問題外，還要進行較為簡單的探究活動，但這些探究基本上與知識的生成背景相吻合，解題方法上有適當的變通，能辨別出解題方法的優劣，并能主動回避易錯點，有一定的靈活性.

解法3：設所求直線l的方程為x=my+3，由x=my+3，

2x-y-2=0，得A(2m-32m-1，-42m-1);由x=my+3，

x+y+3=0，得B(-3m+3m+1，-6m+1).根據中點坐標公式可得m=18，可得直線l的方程為x=18y+3，即y=8(x-3).

感悟：過一點P(x0，y0)的直線方程是y-y0=k(x-x0)與x=x0，學生最容易遺忘x=x0而造成漏解，這種解法巧妙地設出直線方程，回避了討論直線斜率不存在的情況，體現了對直線的點斜式的深刻理解以及直線與二元一次方程之間的對應關系.本題雖未涉及斜率不存在的情況，但這種解法更能使學生深刻的感受和理解直線的點斜式.

思維層次三 思考 運用

思考運用是學生在深入思考的基礎上，能更清晰的感悟到知識產生的背景以及發生、發展的必要性，可以靈活地運用所學的數學知識解決問題.在此思維層次上，關注的是問題的研究方法、思想方法的運用，可以避開原有知識的載體進行變式練習，對公式、定理的運用具有一定的靈活性.

解法4：設A(x0，y0)，由P(3，0)是AB的中點，故B(6-x0，-y0).因A，B分別在直線l1、l2上，所以2x0-y0-2=0，

6-x0-y0+3=0，得A(113，163)，B(73，-163).根據直線方程的兩點式可得直線l的方程為y=8(x-3).

感悟：此解法巧妙地利用中點坐標的變形，轉化為關于點的中心對稱問題，簡化計算的同時，又考查到點與直線的位置關系(點在直線上)，體現了解析幾何初步研究的中心問題(曲線與方程的關系)，回扣主題，使教材中心內容不時地在題目中再現，增強了學生思維的靈活性，同時，也使學生對知識內容的理解提高到較高的層次.只有深入的思考，才能靈活地運用，因此，“思維量越大，計算量越小”這一說法不無道理.

思維層次四 探究 拓展

探究是對問題的內涵作深入的挖掘，是一種自主學習的良好表現，在探究中關注的是具體問題情境中隱含的數學知識、方法、思想，是理性地對數學知識本源的探究與挖掘，只有作深入的探究，才能使數學知識拓展開來，使知識的寬度、深度得到發展，使知識的內涵更豐富，應用方式更靈活.探究活動的形式是多種多樣的，在猜測、假設、觀察、實驗、收集論證等活動的基礎上，對數學知識的來龍去脈作深入的研究，使知識由特殊到一般擴大了適用空間.探究能激起學習的熱情，使思維品質不斷得到提高

與升華，是學生自主學習的良好習慣.

解法5：由P(3，0)是A，B的中點，可設A(3+△x，△y)，B(3-△x，-△y)，代入l1，l2的方程解得△x=23，△y=163，故斜率k=△y△x=8，所以直線l的方程為y=8(x-3).

感悟：解法5用增量的方法刻畫了直線的斜率，揭示了斜率的內涵，突出用斜率處理問題的思想方法，與課標緊密相連，k=△y△x既新穎又本質，這種方法既可與曲線的切線及導數等內容相聯，更將微分思想融入題目，展現了與高等數學的銜接.

思維層次五 反思 遷移

反思是對自身學習行為的檢驗，是促使自己對數學知識掌握、理解、應用情況的定位，在反思中，可以更好地及時修正自身學習的不足，糾正學習中的失誤，提高對知識的理解層次.反思有利于學生進行深層次的建構，只有作深入的反思，才能使知識理解更深入， 運用更流暢，才能拓展知識的思維層次，提高思維的發散和集中的水平，把看似無關的問題緊密的聯系起來.反思遷移既可以激起學生創新的熱情，同時又為數學學習帶來連綿不斷的發現，推動了數學思維的發展.在這一過程中可以通過類比、歸納等方式調動現有的知識信息，進行知識的重組，引起思維的“頓悟”，萌發發明創造的嫩芽.弗賴登塔爾關于學習的認識理 論中強調反思的重要性，他指出：“只要學生沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次.”日本數學教育家米山國藏曾說：“即使學生把教給的知識全忘了，銘刻在他心中的數學精神、思想和方法卻能使他終身受益.”這就是學習的最終目的與崇高境界，也正是反思的作用所在.

解法6：由l1，l2的方程得(2x-y-2)(x+y+3)=0，將直線l的方程y=k(x-3)代入得(2+k-k2)x2-(-6k2+8k-4)x-(9k2-15k+6)=0.根據韋達定理知x1+x2=6，即(2+k-k2)6=-6k2+8k-4，解得k=8，所以直線l的方程為y=8(x-3).

感悟：這種解法，充分地體現了對數學知識的反思和遷移，直線是特殊的曲線，把直線問題轉化為曲線問題，再現了由特殊到一般的思想方法.二元二次方程既可以表示圓、圓錐曲線，同時也可以表示兩條直線，把兩直線方程巧妙相乘，看做一般的曲線是本方法的精髓所在，體現了通性通法是數學教學的關鍵，巧妙地轉化、遷移既凸現了數學的和諧，也彰顯了數學學習的崇高境界.