一些新的代數不等式

本文旨在介紹一些新的代數不等式，期冀為中學數學教研注入一股新鮮活力.

命題1 若a，b為滿足a+b=1的正數，則a+1b+b+1a≥10.

證明：原不等式等價于a+1b+2#8226;(a+1b)(b+1a)+b+1a≥101a+1b+2ab+1ab+2≥9.因1a+1b=(a+b)(1a+1b)≥4，故只要證ab+1ab≥174.因ab≤(a+b2)2=14，故ab+1ab=ab+116ab+1516ab≥12+1516ab≥12+154=174.

綜上，原不等式成立.

猜想1 若a，b，c為滿足a+b+c=1的正數，則a+1b+b+1c+c+1a≥30.

命題2 若a，b為滿足a+b=1的正數，λ≥0，則(a+λ+b+λ)(1a+1b)≥41+2λ.

證明：原不等式等價于(a+λ+2#8226;(a+λ)(b+λ)+b+λ)(1a+2ab+1b)≥16(1+2λ)(1+2λ+2ab+λ+λ2)(1ab+2ab)≥16(1+2λ)(1+2λab+21+λ+λ2ab)#8226;(1ab+2)≥16(1+2λ).因ab≤14，故(1+2λab+21+λ+λ2ab)(1ab+2)≥(2+4λ+21+4λ+4λ2)(2+2)=8［1+2λ+(1+2λ)2］=16(1+2λ).

綜上，原不等式成立.

類似可證《數學通報》2008年9月號問題1752之推廣

命題3 若a，b，c，λ為正數，則1+λba+1+λcb+1+λac≥31+λ.

命題4 若a，b，c為滿足a+b+c=3的非負實數，則a1+b3+b1+c3+c1+a3≤5.

證明：a1+b3=a(1+b)(1-b+b2)≤a［(1+b)+(1-b+b2)］2=a+12ab2，同理b1+c3≤b+12bc2，c1+a3≤c+12ca2，以上三式相加，可得a1+b3+b1+c3+c1+a3≤3+12(ab2+bc2+ca2).為證原不等式，只需證ab2+bc2+ca2≤4.

不妨設a≥b，a≥c，則ab2+bc2+ca2≤a［b2+c(a+b)］≤a［12b(a+b)+c(a+b)］=12a(a+b)(b+2c)

≤12［a+(a+b)+(b+2c)3］3=4.

綜上，原不等式成立.

猜想2 若a，b，c為滿足a+b+c=3的非負實數，則a1+b3+b1+c3+c1+a3≥32.

命題5 若a，b，c為滿足a+b+c=1的實數，則3(bc+ca+ab)+|b-c|+|c-a|+|a-b|≤73.

證明：不妨設a≥b≥c，則原不等式等價于3(bc+ca+ab)+2a-2c≤(a+b+c)2+43bc+ca+ab+2a-2c≤a2+b2+c2+43(a-b)2+(b-c)2+(a-c-2)2≥43.因(a-b)2+(b-c)2+(a-c-2)2=［(a-b)+(b-c)］22+［(a-b)-(b-c)］22+(a-c-2)2≥12(a-c)2+(a-c-2)2=32(a-c)2-4(a-c)+4=32［(a-c)-43］2+43≥43，故原不等式成立.

猜想3 若a，b，c為滿足a+b+c=1的實數，則3(bc+ca+ab)+|b-c|+|c-a|+|a-b|≥1.

命題6 若a，b，c為非負實數，則(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥4(bc+ca+ab-1).

證明：因a-1、b-1、c-1中必有兩個非負或非正，故不妨設(b-1)(c-1)≥0，于是2abc+a2+b2+c2+1-2(bc+ca+ab)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+2(a-1)(b-1)#8226;(c-1)≥(a-1)2+2(b-1)(c-1)+2(a-1)#8226;(b-1)(c-1)=(a-1)2+2a(b-1)(c-1)≥0，∴(a2+1)(b2+1)(c2+1)-4(bc+ca+ab-1)=a2b2c2+b2c2+c2a2+a2b2+a2+b2+c2+5-4(bc+ca+ab)=(abc-1)2+(bc-1)2+(ca-1)2+(ab-1)2+［2abc+a2+b2+c2+1-2(bc+ca+ab)］≥0.因此，原不等式成立.

容易證明命題6的姊妹命題：

若a，b，c為實數，則(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥34(a+b+c)2.

命題7 若a，b，c為滿足a+b+c=1的正數，則a2+1b2+c2+b2+1c2+a2+c2+1a2+b2>12.

證明：不妨設a≥b≥c，則a(b+c)b2+c2+b(c+a)c2+a2+c(a+b)a2+b2>a(b+c)b2+c2+b(c+a)c2+a2=b(a-b)+c(a-c)b2+c2+a(b-a)+c(b-c)c2+a2+2≥b(a-b)b2+c2+a(b-a)c2+a2+2

=(a-b)2(ab-c2)(b2+c2)(c2+a2)+2≥2，a2+bcb2+c2+b2+cac2+a2+c2+aba2+b2=a2-b2+c(b-c)b2+c2+

b2-a2+c(a-c)c2+a2+2c2-(a-b)22(a2+b2)+52≥a2-b2b2+c2+b2-a2c2+a2-(a-b)22(a2+b2)+52≥(a-b)2#8226;［(a+b)2(a2+b2)2-12(a2+b2)］+52=

(a-b)2［(a+b)2+2ab］2(a2+b2)2+52≥52.以上兩式相加，可得a2+bc+ca+abb2+c2+b2+ca+ab+bcc2+a2+c2+ab+bc+caa2+b2>92，即a2+1-b2-c2b2+c2+b2+1-c2-a2c2+a2+c2+1-a2-b2a2+b2>9，所以原不等式成立.a=b→12，c→0時，原不等式左端→12，因此，原不等式不可改進.

猜想4 若a，b，c為滿足a+b+c=1的正數，則a2+1b2+c2+b2+1c2+a2+c2+1a2+b2≤15.

猜想5 若a，b，c為滿足abc=1的正數，則a2+1+b2+1+c2+1≤2(a+b+c).

不等式因證明而美麗，證明因不等式而動人.本文如是說.