一對優美的姊妹不等式

本文旨在建立如下姊妹不等式

定理 若a，b，c是正數，且a+b+c=1，則(1)1a+b+1b+c+1c+a≥30；

(2)1a-b+1b-c+1c-a≥26.

證明：先證(1).∵a，b，c是正數，且a+b+c=1，∴1a+1b+1c≥9，0

361abc+abc+(1a+1b+1c)+(a+b+c)≥3627+127+9+1=36100027=633×103=30，∴1a+b+1b+c+1c+a≥30.

再證(2).由a，b，c∈R+且a+b+c=1得0<3abc≤a+b+c3=13，0

∵1a-b+1b-c+1c-a

≥36(1a-b)(1b-c)(1c-a)

=361abc-(1a+1b +1c)+(a+b+c)-abc

=36(a+b+c)2abc-(1a+1b+1c)+(a+b+c)-abc

=36(abc+bca+cab)+(1a+1b+1c)+(a+b+c)-abc

≥36331abc+9+33abc-abc

=363(31abc+3abc)+9-abc≥363(3+13)+9-127=3619-127=3651227=636#8226;2933=26.

∴(2)式成立.故定理成立.