殊途同歸——等差數列一個典型性質的證明

定理 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=m，Sm=n(m≠n)，則Sm+n=-(m+n).

預備定理：(1)在等差數列{an}中，若m+n=p+qam+an=ap+aq;(2)等差數列{an}中，d2=Snn-Smmn-m;(3)數列{an}是等差數列Sk=Ak2+Bk;(4)Sm+n=Sm+Sn+mnd.(其中ai為數列的第i項，Si為數列的前i項和(m、n、p、q、k、i∈N*)，d為公差.證略)

證1：不妨設m

證2：設{an}首項為a1，公差為d，則Sn=na1+n(n-1)2d=m，

Sm=ma1+m(m-1)2d=n，兩式作差得m-n=(n-m)a1+(n-m)(n+m-1)2d，因為m≠n，∴a1+n+m-12d=-1，∴Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)2d=(m+n)［a1+m+n-12d］=-(m+n).

證3：因為d≠0(否則與題設m、n是常數，且m≠n矛盾).設Sk=Ak2+Bk，(k∈N*)，則Am2+Bm=n，

An2+Bn=m，兩式相減，得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m，∵m≠n，∴A(m+n)+B=-1，∴Sm+n=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n).

證4：設{an}公差為d，則d2=Snn-Smmn-m=mn-nmn-m=-m+nmn，∴d=-2(m+n)mn.又Sm+n=Sm+Sn+mnd=n+m+mm#8226;［-2(m+n)mn］=-(m+n).

證5：由Sn=na1+n(n-1)2d得，Snn=a1+(n-1)2d，∴(n，Snn)是直線y=a1+(x-1)2d上的點，故A(m，Smm)、B(n，Snn)、

C(m+n，Sm+nm+n)三點共線，即kAB=kBC，

∴Snn-Smmn-m=Sm+nm+n-Snnm+n-n.即mn-nmn-m=Sm+nm+n-mnm+n-n，解之，得Sm+nm+n=-1.故Sm+n=-(m+n).