撩起“破譯密碼”神秘的面紗

現代社會對破譯密碼的難度要求越來越高，頗有些神秘的色彩，許多同學認為深不可測、力不能及!在全國各省市中考題和近幾年高考及高考模擬題中頻頻出現以“破譯密碼”為素材的試題，該類試題取材于現代生活的新領域，不僅反映有價值的基礎數學知識、基本數學思想的廣泛應用，還考查廣大中學生靈活應用、自主探索的素質和能力，充分體現了新課程標準的教育理念.下面采擷幾道中考、高考及高考模擬題并予以解析，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

1.密碼為符號型

例1 (湖北襄樊市中考題)現代社會對破譯密碼的難度要求越來越高.有一種密碼把英文的明文(真實文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26個字母(不論大小寫)依次對應1，2，3，…，26這26個自然數，見表格：

abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出如下一個變換公式：x′=x+12(x為自然數，1≤x≤26，x不能被2整除)；

x2+13(x為自然數，1≤x≤26，x能被2整除).將明文轉換成密文，如8→82+13=17，即h變成q;5→5+12=3，即e變成c.

(1)按上述規定，將明文good譯成的密文是什么?

(2)按上述規定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么?

解答本題的關鍵是讀懂明文與密文的變換公式.這個變換公式實質上是一個簡單的代數式的變換(也可以看成函數關系式的變換).看透了這一點，問題便迎刃而解.

(1)g→7→7+12=4→d，o→15→15+12=8→h，d→4→42+13=15→o.故明文good的密文是dhho.

(2)逆變換公式為x=2x′-1(x′∈N，1≤x′≤13)，

2x′-26(x′∈N，14≤x′≤26).則s→19→2×19-26=12→l，h→8→2×8-1=15→o，x→24→2×24-26=22→v，c→3→2×3-1=5→e.故密文shxc的明文是love.

點評：新課程標準強調發展學生的數感和符號感.本題就有字母與數的轉換，注重用數代替符號，用數表達信息、轉換信息；注重理解符號所代表的數量關系和變化規律，要求進行符號之間的轉換，并且選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題.試題中設置的兩個小題，第(1)小題較易，而第(2)小題要求將密文轉換成明文較難，難在轉換式的選擇.這道題所涉及的數學知識并不難，難在轉換關系的運用，難在自主探索能力的較高要求上.

例2 (河北石家莊市中考題)現代社會對破譯密文的難度要求越來越高，有一種密碼把英文的明文(真實文)按兩個字母一組分組(如果最后剩一個字母，則任意添一個字母，拼成一組)，例如：Wish you success分組為Wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到23

19，其中英文的a，b，c，…，z的26個字母(不論大小寫)依次對應1，2，3，…，26這26個自然數，見表格：

abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出如下一個變換公式：x′=x+2y，

y′=3x+4y.將明文轉換為密文，如3

5→

x′=3+2×5=13

y′=3×3+4×5=29→13

3，即ce變成mc(說明：29÷26余數為3.)又如23

9→x′=23+2×9=41

y′=3×23+4×9=105→15

1，即Wi變成oa(說明：41÷26余數為15，105÷26余數為1)

(1)按上述方法將明文star譯成密文；

(2)若按上述方法將其明文譯成的密文是kcwi，請你找出它的明文.

分析與解：(1)將star分組：st，ar，對應的數組為19

20，1

18，由x′=x+2y，

y′=3x+4y得x′=19+2×20，

y′=3×19+4×20→7

7，

x′=1+2×18

y′=3×1+4×18→11

23，∴star翻譯成密文為ggkw.

(2)由x′=x+2y，

y′=3x+4y得

x=-2x′+y′，

y=32x′-y′2.將kcwi分組：kc，wi，對應的數組為11

3，23

9，由x=-2x′+y′，

y=32x′-y′2得x=-2×11+3

y=32×11-32→-19

15→7

15，

x=-2×23+9

y=32×23-92→15

4.∴密文kcwi翻譯成明文為good.

例3 (湖北十堰市中考題)先閱讀下面的材料，再解答后面的各題.

現代社會對保密要求越來越高，密碼正在成為人們生活的一部分.有一種密碼的明文(真實文)按計算機鍵盤字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M這26個字母依次對應，1，2，3…，25，26這26個自然數(見下表)：

QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526給出一個變換公式：

x′=x3(x是自然數，1≤x≤26，x被3整除)；

x+23+17(x是自然數，1≤x≤26，x被3除余1)；

x+13+8(x是自然數，1≤x≤26，x被3除余2).將明文轉換成密文，如4→4+23+17=19，即R變為L.11→11+13+8=12，即A變為S.將密文轉換成明文：如21→3(21-17)-2=10，即X變為P.13→3×(13-8)-1=14，即D變為F.

(1)按上述方法將明文NET譯為密文；

(2)若按上述方法將明文譯成的密文為DWN，請找出它的明文.

分析與解：(1)將明文NET轉換成密文：N→25→25+23+17=26→M，E→3→33=1→Q，T→5→5+13+8=10→P.∴NET的密文為MQP.

(2)將密文轉換成明文：D→13→3×(13-8)-1=14→F，W→2→3×2=6→Y，N→25→3×(25-17)-2=22→C.∴密文DWN的明文是FYC.

例4 (新疆生產建設兵團中考題)在密碼學中，你直接可以看到的內容為明碼，對明碼進行某種處理后得到的內容為密碼.對于英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25，現有4個字母構成的密碼單詞，記4個字母對應的數字分別為x1，x2，x3，x4.已知整數x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余數分別是9，16，23，12，請你通過推理計算破譯此密碼，寫出這個單詞，并寫出此單詞的漢語詞義(寫對漢語詞義加1分，不寫不扣分).

分析與解：由題意得

x1+2x2=26k1+9 ①

3x2=26k2+16 ②

x3+2x4=26k3+23 ③

3x4=26k4+12④其中k1，k2，k3，k4為非負整數，x1，x2，x3，x4均為大于或等于0且小于或等于25的整數.

由④得x4=26k4+123，若滿足上述條件，則k4=0，x4=4，對應字母e.將x4=4代入③，得x3=26k3+15，同理 當k3=0，滿足0≤x3≤25，故x3=15，對應字母P.由②得x2=26k2+163，若滿足0≤x2≤25，則k2=1，故x2=14，對應字母O.將x2=14代入①得x1=26k1-19，同理當k1=1時，滿足0≤x1≤25，故x1=7，對應字母h.∴此單詞為hope，漢語詞意：希望.

例5 (2006年高考陜西卷)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).已知加密規則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16.當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為().

A.4，6，1，7 B.7，6，1，4

C.6，4，1，7 D.1，6，4，7

分析與解：設明文為a，b，c，d，則a+2b=14，

2b+c=9，

2x+3d=23，

4d=28.解之得a=6，

b=4，

c=1，

d=7.故選C.

例6 (2008年南京市高考模擬題)電子計算機中使用二進制，它與十進制的換算關系如下表所示：

十進制12345678…二進制110111001011101111000…觀察二進制為1位數、2位數、3位數時，對應的十進制的數，當二進制為6位數時，能表示十進制中最大數是 .

分析與解：由表中觀察可得：1=1×20，2=1×21+0×20，3=1×21+1×20，4=1×22+0×21+0×20，…，8=1×23+0×22+0×21+0×20，故二進制中6位數最大數為111111，可表示為：1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63.

點評：這是一道探索性問題的新題型，主要考查學生的探究問題的能力，題目文字簡練，驀然一看，考查知識點不多，但深入下去，卻對數學推理能力、探究能力有較高要求，是一道以能力立意的好題，這種注重探究能力和考生內在的數學素質的考查是當今高考命題的一大亮點.

2.密碼為圖形型

例7 (2008年鄭州市高考模擬題)定義A*B，B*C，C*D，D*B分別對應下圖中的圖形.

那么下列圖中：

可以表示A*D，A*C的分別是().

A.(1)、(2) B.(2)、(3)

C.(2)、(4) D.(1)、(4)

分析與解：本題對圖形分析能力要求比較高，有一定的難度.∵依據A*B，B*C，C*D，D*B易知A、B、C、D分別對應下圖中的圖形的定義：

∴表示A*D、A*C的分別如下圖所示：

綜上可知，本題正確答案應選C.

例8 (2008年蘇州市高考模擬題)如圖所示，在甲組的四個圖中，每個圖是由簡單圖形A、B、C、D(不同的線段或圓)中的某兩個圖形組成的，例如由A、B組成的圖形記作A*B，在乙組圖形的a、b、c、d四個圖案中，表示A*D和A*C的是().

A.a、b B.b、c C.c、d D.b、d

分析與解：由條件可知A表示的圖形是豎線，B表示的圖形是大圓，C表示的圖形是橫線，D表示的圖形是小圓.則A*D表示由豎線和小圓組成的圖形b，A*C表示由豎線和橫線組成的圖形d.故選D.

以上各題將實際問題與數學知識緊密聯系在一起，設計新穎別致，超凡脫俗，極富思考性、挑戰性和趣味性.此類題型是考查學生數學能力和數學素養的極好素材，具有較好的區分和選拔功能.敬請廣大教師和中學生認真研讀，悟出其中的玄妙.