“不等式恒成立問題”求解中的幾個抓手

恒成立問題是高中數學中的一個熱點，而不等式更是高考的重點，有人說“不等式恒成立問題”是高考的興奮點，這不無道理.但此類問題解法靈活、綜合性強，部分學生常感到無從下手，茫然不知所措，那么到底如何解決這類問題呢?實際上只要緊緊“抓”住這類問題求解中的幾個“抓手”，求不等式恒成立問題就會迎刃而解.本文試對這類問題作一些歸納和總結，以飧讀者.

1.抓“解集”

對于恒成立問題，不等式的解集雖是一把雙刃劍，它常會導致把不等式的解集與恒成立混為一談的錯誤，但如能搞清它們之間的聯系與區別，就能把“解集”作為“恒成立”求解的突破口.

例1 關于x的不等式x+(m+1)x+m<0在［0，9)上恒成立，求實數m的取值范圍.

解析：原不等式等價于(x+1)(x+m)<0，

x≥0，即x<-m，

x≥0.當m≥0時，不等式解集為空集；當m<0時，原不等式解集為［0，m2)，當且僅當［0，9)［0，m2)且m<0時，原結論成立，即m2≥9且m<0，故m≤-3.

2.抓“主元”

在錯綜復雜的各種矛盾中，抓住了主要矛盾，就猶如抓住了一根主線，從而使次要矛盾迎刃而解.同樣地在數學問題中，多變元的干擾，常會使學生思維的頭緒，陷入眾多繁復的岔道中，剪不清，理還亂，而如若分清主次，抓住主元，則猶如抓住一根主線，一目了然.

例2 (2006#8226;四川卷(文))已知函數f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的導函數，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，求實數x的取值范圍.

解析：它表面上是一個給出參數a的范圍，解不等式g(x)<0的問題，事實并非如此.現把以x為變量的函數g(x)=3x2-ax+3a-5，改為以a為變量的函數，即以變量a為主元，令φ(a)=(3-x)a+3x2-5(-1≤a≤1)，則對-1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，從而轉化為對-1≤a≤1，φ(a)<0恒成立問題，又由φ(a)是a的一次函數，問題就容易解決了，只需φ(1)<0，

φ(-1)<0，即

3x2-x-2<0，

3x2+x-8<0，解方程組得-23

3.抓“△”

二次不等式是不等式問題中一種最常見的題型，解決這類問題有很多方法，但萬變不離其宗，其最根本的方法，還是利用“二次式中的判別式△”.

例3 若不等式-x2+2mx-2m-1<0，x∈［0，1］恒成立，求m的范圍.

解析：不等式要求在x∈［0，1］時恒成立，所以△<0僅是一個充分條件.按判別式討論，設f(x)=-x2+2mx-2m-1.

(1)△<0時，可解得1-2

(2)(Ⅰ)△≥0

f(0)<0

m<0或(Ⅱ)△≥0

f(1)<0

m>1解得-12-12.

4.抓“分離”

由“函數極值”思想可得，f(x)≥a恒成立a≤f(x)min;f(x)≤a恒成立a≥f(x)max.由此，此類問題可化歸為求函數最值或值域的 問題，利用這種方法，關鍵是將參數與未知數進行分離，因此叫分離參數法.

例4 在△ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|<2恒成立，求實數m的取值范圍.

解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1，∵0f(B)-2

m

∴m>1，

m≤3，即m∈(1，3］.

例5 (2000年日本大學入學試題)已知兩個函數f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數.

(1)若對任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；

(2)若對任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范圍.

解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k，問題轉化為F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，為此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)，由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45，F(3)=k-9，F(-1)=k+7，F(2)=k-20，∴F(x)min=k-45，由k-45≥0，解得k≥45.

(2)由題意可知，當x∈［-3，3］時，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k，f(-1)=-8-k，f(3)=120-k，∴f(x)max=120-k，又由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-1或x=-23，∵g(-3)=-21，g(3)=111，g(-1)=-1，g(-23)=-2827，∴g(x)min=-21，則120-k≤-21，解得k≥141.

5.抓“圖形”

“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非”，在不等式恒成立問題中，如若一時難以找出突破口，常可聯想到問題中涉及的函數圖像，以形助數，也許會有意想不到的收獲.

例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax，當x∈(-1，1)時，有f(x)<12，試求實數a的取值范圍.

解析：本題其實也是一個恒成立問題，即函數f(x)<12在區間x∈(-1，1)中恒成立.由f(x)=x2-ax<12得x2-121時，只有a≤2才能保證，而0

6.抓“特征”

不等式恒成立問題和不等式能成立問題，兩者“形似質異”，抓住它們的條件特征，有利于準確解題.

例7 (2006全國卷Ⅱ文)設a∈R，二次函數f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集為A，B={x|1

解析：這是一個在不等式成立的前提下，求參數的范圍問題.題目的要求與大部分見到的題并不相同，這類題目在試題中出現最多的是不等式恒成立的問題，而本題卻是一個不等式能成立的問題，因為題目的條件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)>0在區間(1，3)有解就可以，這等價于f(x)max>0，在x∈(1，3)成立.

(1)當a<0時，因為f(x)的圖像的對稱軸1a<0，則對x∈(1，3)，f(1)最大 ，f(x)max=f(1)=a-2-2a>0a<-2.

(2)當a>0時，f(x)max=f(3)=7a-6>0a>67.于是，實數a的取值范圍是(-∞，-2)∪(67，+∞).

如果題目的條件不是A∩B≠，而是BA，則就化為f(x)>0在區間(1，3)恒成立的問題了.