利用線性規劃思想解題

一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.解決線性規劃問題的數學思想，從本質上講就是數形結合思想.某些數學 問題從表面看與線性規劃無關，但是創造性地運用線性規劃思想來處理，卻能使問題出乎預料地獲得解決，而且可提高思維速度，簡縮解題長度.下以實例說明之.

一、函數問題轉化為線性規劃問題

例1 已知函數f(x)=x3+bx2+cx+d在區間［-1，2］上是減函數，求b+c的最大值.

解：∵f′(x)=3x2+2bx+c，∴f′(x)≤0在區間［-1，2］上恒成立，則f′(-1)≤0，

f′(2)≤0，即\\=2b-c-3≥0，

4b+c+12≤0.視其為約束條件，則目標函數為p=b+c，如圖1，在平面直角坐標系中作出可行域.直線l1:2b-c-3=0與直線l2:4b+c+12=0的交點為(-32，-6).據線性規劃知識得pmax=-152.

例2 已知函數f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)，若實數a、b使得f(x)=0有實根，則a2+b2的最小值為().

A.45 B.34 C.1 D.2

解：令t=x+1x，則|t|≥2，f(x)=g(t)=t2+at+b-2.依題意有g(-2)≤0或g(2)≤0，即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，

如圖2，在平面直角坐標系中作出可行域，則a2+b2表示圖2中陰影區域內的點到原點的距離.因為原點到直線l1:-2a+b+2=0與直線l2:2a+b+2=0的距離均為25.所以a2+b2的最小值為45，故選A.

例3 求函數y=3xx+1+x+4x+1的值域.

解：設a=3xx+1，b=x+4x+1，則動點P(a，b)的軌跡方程為a2+b2=4(a≥0，b≥0且a≠3).而y=a+b表示斜率為-1，縱截距為y的直線.如圖3，A(2，0)(或B(0，2))和切點C(2，2)總在直線l的兩側或其上，所以(2+2-y)(2-y)≤0，解得2≤y≤22，故值域為［2，22］.

二、方程問題轉化為線性規劃問題

例4 已知a>0，方程ax2+(b-1)x+1=0的兩根為x1，x2，滿足|x1|<2且x1-x2=2，求實數b的取值范圍.

解：設f(x)=ax2+(b-1)x+1(a>0)，因為方程f(x)=0的兩根之積為1a>0，且x1-x2=2.

(1)若0

(2)若-2

由二次方程實根分布知識，得f(-4)>0，

f(-2)<0，

f(0)>0，即16a-4b+5>0，

4a-2b+3<0.直線l1:4a-2b+3=0與直線l2:16a-4b+5=0的交點為(18，74).

如圖4，在平面直角坐標系中作出可行域，據線性規劃知識得實數b的范圍為(74，+∞).

三、不等式問題轉化為線性規劃問題

例5 點P(x，y)是y=1-x2上任意一點，若不等式x+y+m≥0恒成立，求m的取值范圍.

解：由線性規劃問題可知，滿足x+y+m≥0的點P(x，y)都在直線l:x+y+m=0上或在其上方.如圖5，函數y=1-x2的圖像是以原點(0，0)為圓心，1為半徑的圓的上半部分(含端點).要使不等式x+y+m≥0恒成立，結合圖5知，只需(-1，0)在直線l上(或其上方)，即-1+m≥0，故m≥1.

例6 解不等式3-x-x+1>12.

解：令3-x=u，x+1=v，則u-v>12，

u2+v2=4，

u、v≥0.聯立u2+v2=4(u、v≥0)與u-v=12，解得u=1+314，v=-1+314.根據

約束條件畫出可行域，如圖6，則可行域為圓在第一象限內的弧AB(含點A(2，0)，不含點B(1+314，-1+314)).由1+314

四、三角問題轉化為線性規劃問題

例7 已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b+c≤2a，a+c≤2b，求ba的取值范圍.

解：據題設及三角形三邊關系，得a

b

a>0，b>0，c>0，設ba=x，ca=y，則1

x

x>0，y>0直線l1:x+y=1與直線l3:y+1=2x的交點為(23，13)，直線l2:x+y=2與直線l4:x=y+1的交點為(32，12).如圖7，在平面直角坐標系中作出可行域，據線性規劃知識得23

五、解幾問題轉化為線性規劃問題

例8 已知直線l:tx+ty+1=0，A(1，3)，B(5，2)，若直線l與線段AB沒有公共點，求t的取值范圍.

解：直線l與線段AB沒有公共點，即A，B位于直線l的同側，利用線性規劃“同側同號，異側異號”的結論，得(t+3t+1)(5t+2t+1)>0，解得t∈(-∞，-14)∪(-17，+∞).

六、概率問題轉化為線性規劃問題

例9 在長度為a的線段內任取兩點將線段分三段，求它們可以構成三角形的概率.

解：設構成三角形的事件為A，長度為a的線段被分成長度為x、y、a-(x+y)的三段，則0a-(x+y)①， y+［a-(x+y)］>x②，由①得a2

a2-x

參考文獻

［1］林明成，岳順民.解無理不等式的若干求簡策略.數學教學通訊，2008，3.