ｆ（ｘ）（ｘ∈Ａ）的值域為［ｍ，Ｍ］與ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ對ｘ∈Ａ恒成立不等價

(2008年全國高考全國卷Ⅱ文21) 設a∈R，函數f(x)=ax3-3x2.

(1)若x=2是函數y=f(x)的極值點，求a的值；

(2)若函數g(x)=f(x)+f′(x)，x∈［0，2］，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍.

對第(2)小問，參考答案給出的解答很特別，考生不易想到，用常規方法要分類討論，又比較繁，于是有學生用了下面的解法.

解：(2)∵f′(x)=3ax2-6x，∴g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x，g(0)=0，由題意有ax3-3x2+3ax2-6x≤0對x∈［0，2］恒成立.當x=0時，a∈R；當0

注：上述解法是巧合，即上述解法不具一般性.這是因為f(x)，x∈A的值域為［m，M］與m≤f(x)≤M對x∈A恒成立不等價，f(x)，x∈A的值域為［m，M］f(x)min=m，

f(x)max=M是方程組問題；m≤f(x)≤M對x∈A恒成立f(x)min≥m，

f(x)max≤M是不等式組問題.因此，兩個問題的結果一般是不同的.

例 函數y=ax+bx2+1的值域為［-1，4］，求a，b的值.

解：(用方程法求值域)y=ax+bx2+1即為yx2-ax+y-b=0，∵x∈R，∴a2-4y(y-b)≥0，即y2+by-a24≤0，解得-b-b2+a22≤y≤-b+b2+a22，即值域為［-b-b2+a22，-b+b2+a22］，由題意得

-b-b2+a22=-1，

-b+b2+a22=4即

b2+a2=2-b，

b2+a2=8+b，解得a=4，

b=-3，或

a=-4，

b=-3.但用-1≤ax+bx2+1≤4對x∈R恒成立得-1≤ax+bx2+1，

ax+bx2+1≤4，即x2+ax+b+1≥0

4x2-ax-b+4≥0恒成立，∴a2-4(b+1)≤0，

a2-16(-b+4)≤0，即

b≥14a2-1，

b≤4-a216，∴-1≤14a2-1≤b≤4-a216≤4，即-1≤b≤4，-25≤a≤25(這個結果也可由-b-b2+a22≥-1

-b+b2+a22≤4得出).即得到的是a，b的取值范圍.

那么前面的學生解法為什么結果是正確的呢?即怎樣巧合的呢?是因為當a=0時，g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x≤0為g(x)=-3x2-6x≤0，解得x≥0或x≤-2，即解集是(-∞，-2］∪［0，+∞);當a<0時，ax3+3(a-1)x2-6x≤0的解集是［3(1-a)+9a2+6a+92a，3(1-a)-9a2+6a+92a］∪［0，+∞)；當a>0時，不等式ax3+3(a-1)#8226;x2-6x≤0的解集是

(-∞，3(1-a)-9a2+6a+92a］∪

［0，3(1-a)+9a2+6a+92a］，又x∈［0，2］時，g(x)≤g(0)=0，∴［0，2］是不等式ax3+3(a-1)x2-6x≤0的解集的子集，即不等式ax3+3(a-1)x2-6x≤0對x∈［0，2］恒成立.而不等式恒成立問題，即給定區間D，關于x的不等式F(x，a)>0(或F(x，a)≤0)，對x∈D恒成立，求a的取值范圍問題，解這類問題一般都有三種方法：一是直接求g(x)=F(x，a)的值 域(m(a)，M(a))，由m(a)>0(或M(a)≤0)解出；二是在F(x，a)>0中解出af(x))，求 出f(x)的值域(m，M)，由aM)直接得出；三是在F(x，a)>0中解出x的集合A，由AD列不 等式解出.這三種方法中的任意一種方法都行，但繁簡有別，一般以第一，第二種方法簡單而常用，特別是第二種方法(分離參數法)從F(x，a)>0中解出af(x))，就歸為求不含參的函數f(x)的值域，顯得尤為簡捷.前面學生的解法就是第三種方法，即分離參數法.