兩則恒成立條件的等價轉化與應用

恒成立問題是歷年高考數學函數與不等式知識考查的熱點，變量分離和函數圖像思想是解此類問題的基本思想.其中解答復合命題有關的恒成立問題時等價演變時常會出現差錯.筆者在本文闡述解決關于恒成立命題的等價性轉化的有效方法.

“合取恒成立條件”的等價性：命題p為真命題且命題q為真命題恒成立的條件m.命題p為真命題恒成立的條件m1，命題q為真命題恒成立的條件m2，則m=m1且m2.

2008年浙江高考理科數學15題：已知t為常數，函數y=|x2-2x-t|在區間［0，3］上的最大值為2，則t= .

解：問題可轉化為命題①：|x2-2x-t|≤2在區間［0，3］上恒成立，也就是②：-2≤x2-2x-t≤2在區間［0，3］上恒成立.即為x2-2x-t≥-2

x2-2x-t≤2在區間［0，3］上恒成立.故有t≤x2-2x+2在區間［0，3］上恒成立，且t≥x2-2x-2在區間［0，3］上恒成立.令h(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈［0，3］，hmin(x)=1，故t≤1；令g(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3，x∈［0，3］，gmax(x)=1，故t≥1.故有t≤1且t≥1，從而t=1.

評注：當問題中含有邏輯聯結詞“且”時，通過“合取恒成立條件”的等價性可直接轉化，通過變量分離求出參數t的數值，充分體現了通性通法解題.

“或取恒成立條件”的等價性：命題p為真命題或命題q為真命題恒成立的條件m.命題p為真命題恒成立的條件m1，命題q為真命題恒成立的條件m2，命題p為真命題命題不恒成立且命題q為真命題恒成立的條件m3，命題p為真命題命題恒成立且命題q為真命題不恒成立的條件m4，則m=m1或m2或m3或m4.

重慶市2007年學生學業質量抽測試卷(第二次)當中的押軸題，其中第二問涉及絕對值內含參不等式恒成立中邏輯聯結詞“或”的問題.同學們在做此題時產生了各種錯誤，筆者先對錯誤進行展示與糾正，分析“或”與“且”在這兩個問題中的區別.

原題中的第二題：已知函數f(x)=ln(2+3x)-32x2，對任意x∈［16，13］，不等式|a-lnx|+ln［f′(x)+3x］>0恒成立，求a的范圍.

錯解一：問題可轉化為命題①：|a-lnx|+ln33x+2>0在［16，13］上恒成立.問題可轉化為命題②：a-lnx>ln3x+23在［16，13］上恒成立或a-lnx<-ln3x+23在［16，13］上恒成立.從而得a>lnx+ln3x+23在［16，13］上恒成立或a<lnx-ln3x+23在［16，13］上恒成立.即a>ln3x2+2x3在［16，13］上恒成立或a<ln3x3x+2在［16，13］上恒成立.

令h(x)=ln3x2+2x3，則h(x)=ln［(x+13)2-19］在［16，13］上遞增，故hmax(x)=g(13)=ln13，∴a>ln13.

令g(x)=ln3x3x+2，則g(x)=ln33+2x在［16，13］上遞增，故gmin(x)=g(16)=ln15，∴a<ln15.綜上，有a<ln15或a>ln13.

錯解分析：由“或取恒成立條件”的等價性可知，錯解一中遺漏了m3與m4這兩個條件.

錯解二：①當a≥lnx恒成立時，a>lnx+ln3x+23在［16，13］上恒成立.故a≥ln13且a>ln13，則a>ln13.

②當a≤lnx恒成立時，a<lnx-ln3x+23在［16，13］上恒成立.故a≤ln16且a<ln15，則a≤ln16.

由①②可知a≤ln16或a>ln13.

錯解分析：去掉絕對值是一個動態過程，隨x的變化而發生改變，不能一概而論.綜合兩種錯誤解法而得到

正確解法一：在錯解一、錯解二的基礎上可知，函數的圖像如右圖，當a<ln15，aln13，a>h(x)在x∈［16，13］上恒成立.當a∈［ln15，ln13)時，y=a與y=g(x) 交于(x1，a)，交y=h(x)于(x2，a)(x1h(x)成立；當x∈［x1，13］，a0恒成立.當a=ln13時，a>h(x)只在x∈［16，13)時；當x=13時，a=h(x)=ln13，a<g(x)在x∈［16，13］不成立，∴|a-lnx|+ln［f′(x)+3x］>0不恒成立.綜上所述：

a∈(-∞，ln13)∪(ln13，+∞).

評注：正解一充分體現“或”與“且”在恒成立問題的區別，數學解答的嚴密性得到展示.

絕對值不等式等價性：|t-f(x)|>g(x)在區間［a，b］(af(x)+g(x)在恒成立的條件m1或t

證明：在“或”的等價性中，若滿足g(x)≥0，有f(x)+g(x)≥f(x)-g(x)成立，t>f(x)+g(x)不恒成立且tf(x)+g(x)恒成立且t

正確解法二：問題可轉化為命題①：|a-lnx|+ln33x+2>0在［16，13］上恒成立.即為|a-lnx|>ln3x+23在［16，13］上恒成立.又可轉化為命題②當g(x)=ln3x+23≥0時，不等式|a-lnx|>ln3x+23在［16，13］上恒成立.即只要x=13時，|a-ln13|>0在［16，13］上恒成立，故a∈(-∞，ln13)∪(ln13，+∞).

實例 (2008年4月臺州市高三數學模擬考試理科試題)已知函數f(x)=|x-a|+1x(x>0)，(1)當a=1時，求f(x)的最小值；

(2)欲使f(x)≥12恒成立，求a的取值范圍.

解：(1)是基礎題，這里不討論.

(2)|x-a|+1x≥12在x>0時，不等式恒成立.即為|a-x|≥12-1x在x>0時，不等式恒成立.令g(x)=12-1x≥0可知x≥2或x<0，故命題：|a-x|≥12-1x可等價轉化為：a≥x-1x+12在［2，+∞)恒成立或a≤x+1x-12在［2，+∞)恒成立.∵h(x)=x-1x+12在［2，+∞)遞增，故a無解.又g(x)=x+1x-12在［2，+∞)遞增，gmin(x)=2，故a≤2.綜上所述a≤2.

該類問題可從不同角度解答，但通過絕對值不等式等價性轉換使解答過程最為簡約.通過這類問題的敘述，“合取恒成立條件”的等價性與“或取恒成立條件”的等價性為解此類問題提供了有效的理論基礎.