２００２年全國高中數學聯賽第１５題的討論

2002年全國高中數學聯賽第15題：

設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R，a≠0)滿足條件：(1)當x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x;(2)當x∈(0，2)時，f(x)≤(x+12)2;(3)f(x)在R上的最小值為0.求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只需x∈［1，m］，就有f(x+t)≤x.

第一步求f(x)的表達式，文［1］列出了包括標準答案在內的3種解法，這三種解法都用到了題目的全部條件.筆者在研究該題解答時，發現題中的條件(3)是多余的.如果保留條件(3)，則可去掉f(x-4)=f(2-x)這一條件.我們的解法如下：

方法1：由(1)得f(1)≥1，由(2)得f(1)≤1，所以f(1)=1.于是二次函數g(x)=f(x)-x符合g(x)=f(x)-x≥0(-∞

方法2：由f(x-4)=f(2-x)知函數f(x)圖像關于x=-1對稱，因此-b2a=-1即b=2a.①，由(1)得f(1)≥1，由(2)得f(1)≤1，因此f(1)=1，即a+b+c=1.②

又因f(x)≥x，x∈R，但f(1)=1，因此方程ax2+bx+c=x有且僅有一個實根，即△=(b-1)2-4ac=0.③，由(3)得4ac-b24a=0.④，①②③聯立或者②③④聯立，都可以求得a=c=14，b=12.所以f(x)=14x2+12x+14.

第二步求m的最大值，筆者也給出一個不同于標準答案的解法：

若存在t∈R，使對一切x∈［1，m］，都符合f(x+t)≤x，即14(x+t+1)2≤x，也即-(x+1)2≤t≤-(x-1)2，1≤x≤m.在區間［1，m］上，函數-(x+1)2的最大值為-4，函數-(x-1)2的最小值為-(m-1)2，所以上式等價于-4≤t≤-(m-1)2，其中m>1.由-4≤-(m-1)2解得m≤9.當1

要確定一個二次函數，只要三個獨立的條件即可.條件(1)實際上已經給出兩個條件，所以本題條件確實有多余，去掉條件(3)可使敘述更為精練.另外，由于本題的條件已足以確定一個二次函數，(2)中出現的二次函數(x+12)2恰好滿足本題的全部條件，學生由此立刻可以得到f(x)=(x+12)2.如果這種方法不在題目編制者的原意之中，筆者認為將( x+12)2換為其他函數為好，例如換為α(x-1)2+x，其中α≥14，當α=12時為x2+12，α=1時為x2-x+1等.求m的最大值時象標準答案那樣可以先求出m的一個上界，再證明m可以取到這個上界.但是正如文［1］所指出的，這種方法不好理解.我們先求出m的取值范圍，則m的最大值也就立刻可以得到，這種方法有一般性，而且思路自然，清晰嚴謹，容易理解.

參考文獻

［1］劉丹.2002年全國高中數學聯賽第15題的解法的探討.數學通訊，2003(1).