一道集訓隊測試題的思考

問題 求實數λ的最大值，使得只要點P在銳角△ABC內部，∠PAB=∠PBC=∠PCA，射線AP、BP、CP分別交△PBC、△PCA、△PAB的外接圓于點A1、B1、C1，就有S△A1BC+S△B1CA+S△C1AB≥λS△ABC.(2004年中國國家集訓隊測試題)［1］

1 參考答案與問題推廣

文［1］中提供的參考答案如下：

解：如圖1，設AA1∩BC=A2，由∠PAB=∠PBC=∠PA1C知AB∥A1C.于是△A1A2C∽△AA2B，S△A1BCS△ABC=A1A2AA2=CA2BA2.同理，記BB1∩CA=B2，CC1∩AB=C2，則S△B1CAS△ABC=AB2CB2，S△C1ABS△ABC=BC2AC2.所以由平均不等式及塞瓦定理可得S△A1BC+S△B1CA+S△C1ABS△ABC=A1A2AA2+AB2CB2+BC2AC2≥33AB2B2C#8226;CA2A2B#8226;BC2C2A=3，當△ABC為正三角形，P為其中心時∠PAB=∠PBC=∠PCA=30°，且A2B=A2C，B2A=B2C，C2A=C2B，此時不等式等號成立.綜上所述，λmax=3.

透過對參考解答的理解，我們不難對問題作如下推廣.

推廣 點P在△ABC內部，∠PAB=∠PBC=∠PCA.射線AP、BP、CP分別交△PBC、△PCA、△PAB的外接圓于點A1、B1、C1，則S△ABC=3S△A1BC#8226;S△B1CA#8226;S△C1AB.

注：推廣的證明思路與原解答基本相同，本文從略.

2 問題與推廣的類比

在對問題的思考和推廣的研究中，筆者首先考慮的是將點P推廣至△ABC內任意一點，但未成 功.不過在研究中卻發現改變點P位置可以得到一些類似的結論，同時筆者還得到一種解決此類問題的統一思路，現介紹如下：

命題 P是△ABC內一點，射線AP、BP、CP分別交△BPC、△APB、△CPA的外接圓于點A1、B1、C1，記△A1BC、△B1CA、△C1AB、△ABC的面積分別為SA、SB、SC、S.

(1)若P是△ABC的外心，則SA+SB+SC3≥S≥3SASBSC；

(2)若P是△ABC的內心，則S≤3SASBSC；

(3)若P是△ABC的重心，則SA+SB+SC3≥S；

(4)若P是△ABC的垂心，則S=3SASBSC；

(5)若P是△ABC的界心，則S≥3SASBSC；

(5)若P是△ABC的費爾馬點，則S≤3SASBSC.

其中結論(1)、(2)、(3)、(5)、(6)當且僅當△ABC是等邊三角形時取等號.(4)式恒成立.

在對命題進行證明之前，先介紹幾個常用的三角不等式作為引理.

引理 設A、B、C為△ABC的三個內角，則(1)cosAcosBcosC≤18［2］；

(2)sinA2sinB2sinC2≤18［3］；

(3)sinAsinBsinC≤338［2］.

以上各式取等號當且僅當△ABC是等邊三角形.

證明：不妨設∠BPC=α，∠CPA=β，∠APB=γ，A、B、C為△ABC的三個內角.

先考察點A1的情形.

如圖2，設AA1交BC于點D，在△A1BC中應用正弦定理，有A1CBC=sin∠A1BCsin∠BA1C=sinβsinα，于是A1C=BC#8226;sinβsinα.故SAS=A1DAD=A1C#8226;sin∠A1CBAC#8226;sin∠ACB=A1C#8226;sinγAC#8226;sinC=BC#8226;sinβsinγAC#8226;sinαsinC=sinAsinβsinγsinBsinCsinα，①

同理，SBS=sinBsinγsinαsinCsinAsinβ，SCS=

sinCsinαsinβsinAsinBsinγ.于是SASBSCS3=sinαsinβsinγsinAsinBsinC.②

(1)若P是△ABC的外心，則∠BPC=2∠A，∠CPA=2∠B，∠APB=2∠C，代入①式得SAS=sinAsin2Bsin2CsinBsinCsin2A=2cosBcosCcosA，同理SBS=2cosCcosAcosB，SCS=2cosAcosBcosC.所以(SA+SB+SC)3≥ScosBcosCcosA+cosCcosAcosB+cosAcosBcosC≥32③

而cosBcosCcosA=cosBcosCsinBsinC-cosBcosC=1tanBtanC-1=tanAtanB+tanC.同理，cosCcosAcosB=tanBtanC+tanA，cosAcosBcosC=tanCtanA+tanB.所以③式tanAtanB+tanC+tanBtanC+tanA+tanCtanA+tanB≥32(tanA+tanB+tanC)#8226;(1tanB+tanC+1tanC+tanA+1tanA+tanB)≥92④

注意到1tanB+tanC+1tanC+tanA+1tanA+tanB≥92(tanA+tanB+tanC)，所以④式成立，取等號當且僅當tanA=tanB=tanC，即△ABC是等邊三角形.

由②式及引理(1)知，當P是△ABC的外心時，SASBSCS3=sin2Asin2Bsin2CsinAsinBsinC

=8cosAcosBcosC≤1.所以SA≥3SASBSC，當且僅當△ABC是等邊三角形時取等號.

(2)若P是△ABC的內心，則∠BPC=π2+A2，∠CPA=π2+B2，∠APB=π2+C2，結合②式及引理(2)有SASBSCS3=cosA2cosB2cosC2sinAsinBsinC=18sinA2sinB2sinC2≥1.所以S≤3SASBSC，當且僅當△ABC是等邊三角形時取等號.

(3)若P是△ABC的重心.如圖3，延長BP、CP與對邊相交于點E、F，并記BC=a，CA=b，AB=c，AD=ma，BE=mb，CF=mc.\\=設△ABC的外接圓半徑為R，由四邊形面積公式，得sinα=2S四邊形BCEFBE#8226;CF=32#8226;S△ABCmbmc，同理，sinβ=32#8226;S△ABCmcma，sinγ=32#8226;S△ABCmamb.將上述三個表達式代入①式并結合S四邊形BCEF=34S△ABC 進行化簡，得SAS=3S△ABCsinA2m2asinBsinC，再將S△ABC=2R2sinAsinBsinC代入上式，得SBS=3R2sin2Am2a=34#8226;a2m2a.⑤

由三角形中線長公式，易得4m2a=2b2+2c2-a2，

4m2b=2c2+2a2-b2，

4m2c=2a2+2b2-c2，故a2=49(2m2b+2m2c-m2a).將其代入⑤式，得

SAS=2m2b+2m2c-m2a3m2a，同理，

SBS=2m2c+2m2a-m2b3m2b，SCS=2m2a+2m2b-m2c3m2c.所以SAS+SBS+SCS≥32(m2am2b+m2bm2a+m2bm2c+m2cm2b+m2cm2a+m2am2c)-1≥3，即SA+SB+SC3≥S，等號成立當且僅當ma=mb=mc，即△ABC是等邊三角形.

(4)若P是△ABC的垂心.則∠BPC=π-A，∠CPA=π-B，∠APB=π-C.SASBSCS3=sinAsinBsinCsinAsinBsinC=1，即S=3SASBSC.

注：若P是△ABC的垂心，還可進一步得到△A′BC≌△B′CA≌△C′AB ≌△ABC.

(5)若P是△ABC的界心，如圖4，設AP、BP、CP分別與對邊交于點D、E、F.根據界心的性質，設BF=CE=x，AF=CD=y，AE=BD=z，AD=ta，BE=tb，CF=tc.則S△AEF=AE#8226;AFAB#8226;AC#8226;S△ABC=yz(x+y)(x+z)S△ABC，所以S四邊形BECF=S△ABC-S△AEF=x(x+y+z)(x+y)(x+z)#8226;S△ABC，⑥，注意到S四邊形BEFC=12tbtcsinα，S△ABC=12(x+y)(x+z)sinA.代入⑥式可得sinαsinA=x(x+y+z)tbtc，同理sinβsinB=y(x+y+z)tcta，sinγsinC=z(x+y+z)tatb.從而由式②，知SASBSCS3=sinαsinβsinγsinAsinBsinC=

xyz(x+y+z)3t2at2bt2c.因此結論(5)等價于證明t2at2bt2c≥xyz(x+y+z)3.⑦，利用斯臺沃特定理可得t2a=(x+y)2y+(x+z)2zy+z-yz=x2(y+z)+2x(y2+z2)+(y3+z3)y+z-yz=x2+2x(y+z)-4xyzy+z+(y+z)2-4yz=(x+y+z)2-4yz(x+y+z)y+z=(x+y+z)(x+y+z-4yzy+z)⑧.易證y+z≥4yzy+z，當且僅當y=z時取等號.所以t2a≥x(x+y+z).同理t2b≥y(x+y+z)，t2c≥z(x+y+z).所以式⑦成立，取等號當且僅當x=y=z，即△ABC是等邊三角形.

(6)若P是△ABC的費爾馬點，則∠BPC=∠CPA=∠APB=2π3，結合②式和引理(3)，得SASBSCS3=338sinAsinBsinC≥1，即S≤3SASBSC，當且僅當△ABC是等邊三角形時取等號.

注：結論(2)和結論(6)中依據均值不等式中一定有S≤3SASBSC≤SA+SB+SC3，在結論(3)中不存在S與3SASBSC的絕對不等式關系，結論(5)中不存在S與SA+SB+SC3的絕對不等式關系.

參考文獻

［1］劉培杰.最新世界各國數學奧林匹克中的平面幾何試題［M］.P172.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2007，3.

［2］競賽常用知識手冊［J］.中等數學，2007(9)(封底).

［3］張運籌.三角不等式及應用，P57［M］.上海：上海教育出版社，1984年5月第1版.