一道ＣＭＯ試題的另解

題目 設銳角△ABC的三邊長互不相等，O為其外心，點A′在線段AO的延長線上，使得∠BA′A=∠CA′A.過A′作A′A1⊥AC、A′A2⊥AB，垂足分別為A1、A2，作AHA⊥BC，垂足為HA.記△HAA1A2的外接圓半徑為RA，類似地可得RB、RC.求證：1RA+1RB+1RC=2R，其中，R為△ABC的外接圓半徑.(2008中國數學奧林匹克試題第1題)

證明：如圖，連結OB、OC，則OB=OC，故點O在BC的垂直平分線上.設△A′B C的外接圓與AO交于點O′(不同于點O)，連結O′B、O′C，則∠O′BC=∠O′A′C=∠O′A ′B=∠O′CB，即有O′B=O′C，故點O′也在BC的垂直平分線上，于是OO′是BC的垂直平分線，從而有AB=AC，矛盾!因此O′、O是同一點，O、B、A′、C四點共圓，∠OBC=∠AA′C.

設⊙O(△ABC的外接圓)與AA′交于點A″(不同于點A)，連結A″B、A″C，則A″C⊥AC、A″B⊥AB、∠ABHA=∠AA″C，而有∠BAHA=∠A′AC.

設點H為△ABC的垂心，連結BH、HC，同理可得∠ABH=∠OBC，于是∠ABH=∠AA′C.

注意到△ABHA∽△AA″C、△ABA″∽△AA2A′，即有AHAAC=ABAA″=AA2AA′，結合∠BAHA=∠A′AC，又△AA2HA∽△AA′C，而有∠AA2HA=∠AA′C，故∠ABH=∠AA2HA，從而有BH∥A2HA，于是A2HA⊥AC.

同理可得A1HA⊥AB，故HA是△AA2A1的垂心，于是AHA⊥A2A1、BC∥A2A1.

顯然，A、A2、A′、A1四點共圓.

注意到BH⊥AC、A2HA⊥AC、A′A1⊥AC，有BH∥A2HA∥A′A1，同理有CH∥A1HA∥A′A2，故四邊形HBA″C、HAA2A′A1都是平行四邊形，于是△A″BC≌△HCB、△HAA1A2≌△A′A2A1，即知△A″BC的外接圓半徑為R，△A′A2A1的外接圓半徑為RA.

由于△A″BC與△A′A2A1、△ABC與△AA2A1都是以點A為外位似中心的位似圖形，即有RRA=BCA2A1=AHAHA=AHA-HHAAHA=1-HHAAHA，注意HHAAHA=12BC#8226;HHA12BC#8226;AHA=S△HCBS△ABC，即有RRB=1-S△HCBS△ABC，同理RRB=1-S△HCAS△ABC，RRC=1-S△HABS△ABC，于是RRA+RRB+RRC=3-S△HBC+S△HCA+S△HABS△ABC=3-S△ABCS△ABC=3-1=2.故1RA+1RB+1RC=2R.

參考文獻

［1］2008年數學奧林匹克［J］.中等數學，2008(3).