隨機過程理論在庫存管理中的應用

郁宇衛

The Application of Random Process Theory in the Inventory Management

——Working on the Continuous and Discrete s,Q Model

摘要:基于隨機過程理論對物流活動中的庫存管理進行優化。在傳統的市場需求固定的基礎上對顧客需求是隨機的情形進行分析,推導模型并進行求解。現代庫存管理追求的是效益最大化(或成本最低化),以s,Q模型為例,分別對需求是連續的和離散的兩種情況以成本最低為目標函數進行建模,最后通過算例分析得出庫存最優方案。

關鍵詞:現代庫存管理;隨機過程理論;s,Q模型

中圖分類號:F224文獻標識碼:A

Abstract: This paper optimizes the inventory management of logistics with the application of random process theory. Based on the traditional model of fixed-requirement, the stochastic-requirement model was analyzed and worked out. The modern inventory management seeks for the largest benefit(or the lowest cost). With model of s,Q, the article sets the goal function with goal of lowest cost for the continuous-requirement model and the discrete-requirement model. The last part works out the goal function.

Key words: modern inventory management; random process theory; s,Q model

1簡介

從實物角度分析物流,運輸和倉儲是物流基本的關鍵問題。運輸可以創造商品在空間上的價值,而倉儲則可以創造商品在時間上的價值。從許多微觀案例來看,倉儲管理已成為供應鏈管理的核心環節。這是因為倉儲總是出現在物流各環節的結合部:生產的粗加工與精加工之間、批發與零售之間、不同運輸方式轉換之間,等等。傳統的倉儲業是以收保管費為商業模式,希望自己的倉庫總是滿滿的,這種模式與物流的宗旨背道而馳。現代物流以整合流程、協調上下游為己任,靜態庫存越少越好,其商業模式也建立在物流總成本的考核之上。庫存控制以服務質量、運營成本為控制目標,在追求成本最低的同時應適當考慮企業的服務水平。

2確定與隨機顧客需求的分析比較

根據市場需求的確定與否,可以將庫存模型分為確定型儲存模型和隨機儲存模型。

2.1確定型市場需求(如圖1所示)

對于最簡單的確定型庫存模型目標函數的推導:此處假設提前期固定,瞬時進貨,不允許缺貨。參數設定:

Q:每次進貨量,C:每次訂購量,H:單位時間單位貨物存儲費(管理費用),D:需求速度(或單位時間內需求)。

需求曲線如圖2所示。

ft= HDt+

解得:

Q=

2.2隨機型市場需求(如圖3所示)

考慮到顯示中的實際情況,隨機型市場需求更符合現實情況。特別是在市場經濟時代,研究隨機型市場需求更加具有實際意義。

3s,Q模型的求解

在計算庫存總費用時,我們把費用分成三部分:訂購總費用、庫存總費用和缺貨總費用。一般情況下我們只考慮因缺貨而引起的直接損失,而未考慮每次缺貨的間接損失(例如消費者每次要求訂購而進行的打折)[2]。

3.1參數設定

Cs,Q:目標成本函數;

x:顧客需求;

fx或Px:顧客需求密度函數;

D:單位時間需求量;

C :每次訂購成本(訂貨費分為訂購費和貨物成本費用,由于每次所訂貨物的數量為一常數,貨物成本費用可以不予考慮);

H:每件貨物單位時間存儲成本;

C :單位時間單位產品缺貨成本(與缺貨量有關);

s:再訂貨點;

Q:每次訂貨數量;

L:提前時間(從提出訂貨的時刻起到交貨的時刻位置的時間段,為一常數或隨機變量);

dL:提前時間需求(是一個關于L的函數);

P :提前時間缺貨概率;

Q :提前時間缺貨量;

B :每次缺貨損失(與缺貨量無關)。

3.2目標函數推導

Cs,Q=c × +HQ+s-dL+s-dL÷2+C ×Q × +B ×P ×(1)

其中第一項表示單位時間訂購成本,第二項表示缺貨成本,第三項表示因缺貨而失去銷售機會產品的成本(與缺貨量有關),第四項表示因缺貨造成的損失(與缺貨量無關,只要缺貨就會產生)。為了與實際情況更好的相對應,在計算缺貨損失時,考慮每次缺貨成本是非常必要的。

P = fxdx(2)

Q = x-sfxdx (3)

由(1)式可知,在目標函數中含有Q的一次項,在非負情況下不存在最大值。因此目標函數對s和Q求偏導,再令其等于零,便可求得最小值。

(1)式對 s和Q分別求偏導得:

=H-C fxdx-Bfs=0 (4)

=-C+ -C Q-B P=0(5)

(2)式對s求導數得:

=-fs(6)

(3)式對s求導數得:

=- fxdx(7)

由(4)、(5)、(6)、(7)得:

Q=(8)

P = fxdx= (9)

由于(3)、(4)兩式中含有相互依賴的未知數,不能一下解出最終結果,為此采用逐步逼近的迭代解法,步驟如下:

(1)先將本問題當作確定型模型來求解,最優解為:

Q =(10)

(2)應用Q ,代入(4)式中,算出s,由s計算出Q 和P ;

(3)將Q 和P 代入(3)式求出Q ;

(4)應用Q 按上述步驟求出s ;

(5)如此迭代,直到Q 和s 不再變化為止,所得的最終值就是最佳訂購點s和最佳訂購量Q。

算例分析:

C =10,B =4,C =3,H=2

彩電代理商甲向某彩電公司發出訂單,參數如上,每次從發出訂單到收貨的時間間隔不變,為五分之一個周期。(假設:每次到貨后,庫存量大于s)顧客總需求連續型模型分析:當在提前期0,L上,需求服從均值λ=5的指數分布,求Q和s。

fx= e x≥0

一個周期內的需求量D=5,λ=25。

根據式(10)得:

Q = = =5

根據式(9)得:

fxdx= =

得:

e = s=-5ln

P = fxdx=e =

Q = x-sfxdx= x-s e dx=5e =

經過6步迭代后得:

Q ≈Q =21.58

e = , s=-5ln0.454=3.94

考慮離散型市場需求的s,Q模型[3]:

P = Px (11)

Q = x-sPx (12)

設:顧客i對商品的需求為D 且服從參數P的貝努里分布,時常顧客M服從參數λ的泊松分布。

假設:D 獨立同分布,M與D 之間相互獨立。

由經典概率論著作可知[4]:設非負離散型隨機變量x的概率分布Px=i=h ,i=1,2,3……,則隨機變量的母函數為:

Hs= h s

x的均值μ =h'1,x的方差σ=H''1+H'1-H'1

D 的母函數為Y s= bjs

因為市場需求x為所有單個顧客需求的總和,即市場需求x=D +D +…+D

所以Hs= Y s= h Y s=HYs

由以上得:μ =μ μ ,σ=σ μ +σμ

Hs=HYs=e

即市場需求服從參數為λP的復合泊松分布。目標函數與(1)式相同。

算例分析:

假設單個消費者對某商品的需求服從參數P=0.6的貝努里分布,市場總的消費者數量服從λ=10的泊松分布,其他參數與連續型算例相同。求s和Q。

提前期L內的平均需求量為:

kPk=λP=6

則周期內的平均需求量為:D=5λP=30

根據式(10)得:

Q = = =10

根據式(9)得:

Px= =

查表得s=7

經過三步迭代后得

Q ≈Q =19.54;s=7

計算結束。

4結論與展望

運用隨機過程理論解決供應鏈管理中的庫存管理問題,通過簡單的迭代算法就能得到較滿意的結論。但是這僅僅限于單級庫存問題,對于多級庫存問題,運用隨機過程理論不一定能通過簡單應用就得到滿意的結論。

參考文獻:

[1] 湯代焱. 運籌學[M]. 長沙:中南大學出版社,2005.

[2] 林勇,鄭阿美. 面向隨機需求的安全庫存管理研究[J]. 物流技術,2006(10):20-23.

[3] 孔慶霞,魯其輝. 隨機顧客選擇需求模型及其在庫存管理中的應用[J]. 物流技術,2006(7):127-130.

[4] 林元烈,等. 隨機數學引論[M]. 北京:清華大學出版社,2003.

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文