數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的運(yùn)用

王　翔　桑志英　劉金元

從小學(xué)數(shù)學(xué)過(guò)渡到初中數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法都是個(gè)轉(zhuǎn)折，尤其是數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用要產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。初一數(shù)學(xué)教材蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中又要不斷地運(yùn)用與提高。因此把握好初一教材中的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是很重要的。

符號(hào)思想

用字母符號(hào)表示數(shù)是由特殊到一般的抽象，是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的代數(shù)方法。初一教材第一章代數(shù)初步知識(shí)的引言中，就蘊(yùn)涵用字母符號(hào)表示數(shù)的思想。教師先讓學(xué)生在引言實(shí)例中計(jì)算一些具體的數(shù)值，啟發(fā)學(xué)生歸納出用字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有問(wèn)題的一般性，也便于問(wèn)題的研究和解決，由此產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識(shí)飛躍。

學(xué)生領(lǐng)會(huì)了用字母符號(hào)表示數(shù)的思想，就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：用字母表示問(wèn)題如代數(shù)式概念，列代數(shù)式；用字母表示規(guī)律如運(yùn)算定律，計(jì)算公式，認(rèn)識(shí)數(shù)式通性的思想；用字母表示數(shù)來(lái)解應(yīng)用題等。因此，用抽象字母符號(hào)表示具體數(shù)的思想，對(duì)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)好代數(shù)、入門(mén)知識(shí)能起關(guān)鍵作用，為后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

分類思想

數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，常常根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，把它分為若干種情形，以利于問(wèn)題的研究和解決，這就是數(shù)學(xué)分類的思想。初一教材中的分類思想主要體現(xiàn)在：有理數(shù)的分類；絕對(duì)值的分類；整式分類。教學(xué)中，要向?qū)W生講清分類的要求（不重、不漏），分類的方法（選擇標(biāo)準(zhǔn)），使學(xué)生認(rèn)識(shí)分類思想的意義和作用。只有通過(guò)分類思想的教學(xué)，才能使學(xué)生真正明確：一個(gè)字母，在沒(méi)有指明取值范圍時(shí)，可以表示大于零、等于零、小于零的三種情形。這樣，學(xué)生做一些有關(guān)分類討論的題也就不易出錯(cuò)，使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用分類思想解題的習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)分析問(wèn)題的能力。

數(shù)形結(jié)合的思想

將一個(gè)代數(shù)問(wèn)題用圖形來(lái)表示，或把一個(gè)幾何問(wèn)題記為代數(shù)的形式，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的情形，常稱為數(shù)形結(jié)合的思想。初一教材第二章的數(shù)軸體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。教學(xué)時(shí)，要講清數(shù)軸的意義和作用，使學(xué)生明確數(shù)軸建立數(shù)與形之間的聯(lián)系的合理性。任意一個(gè)有理數(shù)可用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，從這個(gè)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)出發(fā)，利用數(shù)軸表示數(shù)的點(diǎn)的位置關(guān)系，使有理數(shù)的大小，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算都能直觀地反映出來(lái)，也就是借助數(shù)軸的思想，使抽象的數(shù)及其運(yùn)算方法易于學(xué)生理解和接受。充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，就可突破有理數(shù)及其運(yùn)算方法的教學(xué)困難。數(shù)形結(jié)合還要求數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念，使學(xué)生對(duì)物體的形狀、大小、位置、方向、距離等有明確的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)過(guò)的形體以及接觸過(guò)的物體、場(chǎng)地、河山等能夠在頭腦中形成表象，并借助表象進(jìn)行思考，以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

方程思想

方程的思想，就是一些求解未知的問(wèn)題，通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程，從而化未知為已知（有時(shí)又稱代數(shù)解法）。代數(shù)解法從一開(kāi)始就抓住包括已知數(shù)、未知數(shù)的整體，在這個(gè)整體中未知數(shù)與已知數(shù)的地位是平等的，通過(guò)等式變形，改變未知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系，最后使未知數(shù)成為一個(gè)已知數(shù)。而算術(shù)解法，往往是從已知數(shù)開(kāi)始，一步一步向前探索，直到解題基本結(jié)束，才找出所求未知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系。這樣的解法是從把未知數(shù)排斥在外的局部出發(fā)的，因此未知數(shù)對(duì)已知數(shù)來(lái)說(shuō)其地位是特殊的。與算術(shù)解法相比，代數(shù)解法顯得居高臨下，省時(shí)省力。通過(guò)方程思想的教學(xué)，學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)及代數(shù)解法的優(yōu)越性得到深刻的認(rèn)識(shí)，激發(fā)他們學(xué)好方程知識(shí)，運(yùn)用方程思想去解決問(wèn)題。由此，學(xué)生用代數(shù)方法解決問(wèn)題和建立數(shù)學(xué)模型的能力得到了培養(yǎng)。

化歸思想

化歸思想是把一個(gè)新的（或較復(fù)雜的）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題上來(lái)。它是數(shù)學(xué)最重要、最基本的思想之一。初一數(shù)學(xué)中化歸思想主要體現(xiàn)在：1）用絕對(duì)值將兩個(gè)負(fù)數(shù)大小比較化歸為兩個(gè)算術(shù)數(shù)的大小比較；2）用絕對(duì)值將有理數(shù)加法、乘法化歸為兩個(gè)算術(shù)數(shù)的加法、乘法；3）用相反數(shù)將有理數(shù)的減法化歸為有理數(shù)的加法；4）用倒數(shù)將有理數(shù)除法化歸為有理數(shù)的乘法；5）把有理數(shù)的乘方化歸為有理數(shù)的乘法。教師如能這樣的講解，學(xué)生對(duì)有理數(shù)的各種運(yùn)算關(guān)系就能透徹的理解，形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化意識(shí)。通過(guò)這樣的化歸，學(xué)生既對(duì)絕對(duì)值的作用、有理數(shù)的大小比較和運(yùn)算有清晰的認(rèn)識(shí)，而且對(duì)知識(shí)的發(fā)展與解決的方法也有一定的認(rèn)識(shí)。

模型化思想

由于任何客觀對(duì)象都有其空間形式和數(shù)量關(guān)系，因而從理論上說(shuō)以空間形式與數(shù)量關(guān)系為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)可以應(yīng)用于客觀世界的一切領(lǐng)域，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，首先要提出問(wèn)題，用明確的語(yǔ)言加以表述，然后建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)，進(jìn)而指導(dǎo)實(shí)踐，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)實(shí)踐奠定基礎(chǔ)。

所以說(shuō)，深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想，用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)課堂教學(xué)，學(xué)生將學(xué)得更活，對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)系、問(wèn)題的本質(zhì)特征就有清晰的認(rèn)識(shí)，化學(xué)會(huì)為會(huì)學(xué)，提高數(shù)學(xué)研究和解決問(wèn)題的能力。

（作者單位：山東省濰坊科技學(xué)院）