直面認(rèn)知差異找準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)

王逸卿

“數(shù)學(xué)廣角”是人教版教材中新增加的一個(gè)內(nèi)容。主要是系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，嘗試把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過(guò)學(xué)生可以理解的簡(jiǎn)單形式，采用生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來(lái)。通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理與交流等活動(dòng)，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，逐步形成有序的、嚴(yán)密的思考問(wèn)題意識(shí)，同時(shí)使他們逐步形成探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣與欲望。數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更抽象，呈現(xiàn)形式比較隱蔽。“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容相對(duì)于其他單元的內(nèi)容來(lái)說(shuō)思維的難度大一些。

基于對(duì)教材這樣的理解，試教“數(shù)學(xué)思考”一課的時(shí)候，我是這樣設(shè)計(jì)的：

一、導(dǎo)入新課：

1同學(xué)們，我們來(lái)做一個(gè)小游戲，請(qǐng)你們拿出紙和筆。在紙上任意點(diǎn)上7個(gè)點(diǎn)，并將它們每?jī)牲c(diǎn)連成一條線，再數(shù)一數(shù)。看看連成了多少條線段。

2同學(xué)們，有結(jié)果了嗎?

(估計(jì)學(xué)生會(huì)有不同的結(jié)果，要數(shù)清楚21條線段是比較困難的)

你感到有什么困難?

(比較多，比較亂)

37個(gè)點(diǎn)比較多，如果點(diǎn)少一些，可能比較清楚是嗎?

二、探究規(guī)律：

1你覺(jué)得少到幾個(gè)點(diǎn)，你就沒(méi)問(wèn)題了?

(估計(jì)學(xué)生會(huì)說(shuō)2個(gè)點(diǎn)肯定沒(méi)有問(wèn)題!)

2那就先來(lái)2個(gè)點(diǎn)，可以連幾條線段?

(板書：點(diǎn)數(shù)：“2”，總數(shù)“1”條)

3如果增加一個(gè)點(diǎn)，3個(gè)點(diǎn)了，一共可以連幾條線段?

(板書：點(diǎn)數(shù)：“3”，增加“2”總數(shù)“3”條)

[課后思考]

試教下來(lái)，學(xué)生的思維過(guò)程與教學(xué)設(shè)計(jì)相距甚遠(yuǎn)。預(yù)設(shè)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)遇到困難，教學(xué)的步子需要小一些，引導(dǎo)需要多一些。但課堂上，當(dāng)我問(wèn)道：“同學(xué)們，有結(jié)果了嗎?”第一個(gè)學(xué)生的回答：“有21條!”第二個(gè)學(xué)生同樣回答：“有21條!”當(dāng)有一個(gè)學(xué)生怯生生地說(shuō)：“有7條”的時(shí)候，馬上有學(xué)生起來(lái)反駁：“7條是不對(duì)的，應(yīng)該是6+5+4+3+2+1=21條。”學(xué)生竟然這么輕易就解決了問(wèn)題，而我接下來(lái)的引導(dǎo)顯得非常生硬：“是21條嗎?誰(shuí)畫出來(lái)了，上來(lái)數(shù)數(shù)看!”“如果點(diǎn)少一些，可能比較清楚，是嗎?”學(xué)生顯然對(duì)于我回避正確的解法，硬是從兩個(gè)點(diǎn)開始畫起興致不高。

學(xué)生為什么對(duì)于教師的一步步引導(dǎo)興致不高?學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)到底是怎樣的?

帶著這樣的思考。我在另一個(gè)班級(jí)做了一個(gè)課前調(diào)查，在教師沒(méi)有任何提示的情況下讓學(xué)生嘗試解決例題：“兩個(gè)點(diǎn)之間可以連1條線段，那么7個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段呢?”雖然，我已經(jīng)感覺(jué)到可能會(huì)有很大的差異，但是結(jié)果還是讓我比較吃驚：59人的一個(gè)班級(jí)：有25位同學(xué)已經(jīng)能夠列出“6+5+4+3+2+1=21條”(其中兩位同學(xué)算錯(cuò))，有7位同學(xué)列出“6×7=42條、42+2=21條”，有10位同學(xué)是畫圖的方法(其中六位同學(xué)畫錯(cuò))，只有兩位同學(xué)的列式為：“1+2+3+4+5+6=21條”，而有17位同學(xué)幾乎是無(wú)從下手，思路都不對(duì)。

學(xué)生的差異是客觀存在的，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的新授過(guò)程中，我們也發(fā)現(xiàn)總有學(xué)生在嘗試練習(xí)中已經(jīng)能夠解決問(wèn)題。不過(guò)，“數(shù)學(xué)廣角”中學(xué)生的差異顯然更大，“6+5+4+3+2+1=21條”這種方法體現(xiàn)了在解決排列組合問(wèn)題時(shí)有序思考的價(jià)值，在許多學(xué)生的腦海里已經(jīng)根深蒂固，我們也的確感到了這種方法的優(yōu)越性。不過(guò)，教材編寫的目的，不僅僅是解決這個(gè)問(wèn)題，更為重要的是希望學(xué)生能夠理解和掌握“化繁為簡(jiǎn)”的思想方法。

基于對(duì)學(xué)生這樣的認(rèn)識(shí)，正式執(zhí)教“數(shù)學(xué)思考”一課的時(shí)候，我是這樣設(shè)計(jì)的：

一、導(dǎo)入新課，探究規(guī)律

1數(shù)學(xué)離不開點(diǎn)、線、面，“線段”大家一定不陌生，一條線段有幾個(gè)端點(diǎn)?

反過(guò)來(lái)，兩個(gè)點(diǎn)之間可以連一條線段。(媒體顯示)

2那么，如果現(xiàn)在有7個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間連一條線段，一共可以連多少條線段?

先把你的想法寫在草稿紙上，然后跟同學(xué)交流交流!

3有序展示學(xué)生的思維：

(1)呈現(xiàn)寫有“6+5+4+3+2+1=21(條)”的學(xué)生作業(yè)本，指名說(shuō)出思路。

(從1個(gè)點(diǎn)出發(fā)，可以跟其他的6個(gè)點(diǎn)都連1條線段，這個(gè)點(diǎn)與其他幾個(gè)點(diǎn)都連過(guò)了，第二個(gè)點(diǎn)就與這個(gè)點(diǎn)不連了，跟另外5個(gè)點(diǎn)共連5條線段，依次類推，所以一共是6+5+4+3+2+1=21條)

(2)呈現(xiàn)寫有“6x7÷2=21(條)”的學(xué)生作業(yè)本，指名說(shuō)出思路

(每個(gè)點(diǎn)都可以與其他6個(gè)點(diǎn)連一條線段，一共是42務(wù)，因?yàn)閮蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都算了2次，所以除以2)誰(shuí)聽明白了?你也來(lái)說(shuō)一說(shuō)!

(3)呈現(xiàn)“畫圖的方法”的學(xué)生作業(yè)本：

你能數(shù)一數(shù)自己畫了幾條線段嗎?感覺(jué)怎樣?

(學(xué)生一般覺(jué)得數(shù)起來(lái)比較困難，甚至?xí)?shù)錯(cuò)!)

看來(lái)7個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，要想數(shù)出來(lái)已經(jīng)很困難了1100個(gè)點(diǎn)呢?老師覺(jué)得畫圖也是能夠畫清楚的!你有辦法嗎?

(可以編編號(hào)，可以先少畫幾個(gè)點(diǎn)……)

我們來(lái)試試看!

①(畫2個(gè)點(diǎn))兩個(gè)點(diǎn)之間可以連幾條線段?

(兩個(gè)點(diǎn)可以連1條線段，板書：點(diǎn)“2”總數(shù)“1”)

②(點(diǎn)出第三個(gè)點(diǎn))3個(gè)點(diǎn)呢?誰(shuí)來(lái)畫畫看?

跟原來(lái)相比發(fā)生了什么變化?(比2個(gè)點(diǎn)時(shí)增加了2條線段)

誰(shuí)來(lái)畫畫看?增加的用紅色表示。

為什么會(huì)增加兩條線段?

(原來(lái)有2個(gè)點(diǎn)，增加的點(diǎn)與原來(lái)的2個(gè)點(diǎn)都可以連一條線段，所以增加了2條線段。板書：點(diǎn)“3”增加“2”總數(shù)“3”)

……

[課后反思]

教學(xué)一開始就是一個(gè)開放的設(shè)計(jì)：“先把你的想法寫在草稿紙上，然后跟同桌交流交流!”讓學(xué)生嘗試，暴露學(xué)生原有的思維狀態(tài)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。許多學(xué)生已經(jīng)能夠用“方法一”和“方法二”解決問(wèn)題，而他們也堅(jiān)信自己是正確的，急于表達(dá)自己的想法。這時(shí)候，我們不應(yīng)該禁錮學(xué)生的思維和表達(dá)的意愿，因?yàn)樗麄冇懈憬莸姆椒ǎ@然會(huì)對(duì)“從2個(gè)點(diǎn)畫起”這種“繁瑣”的方法沒(méi)有興趣，對(duì)于大多數(shù)的學(xué)生而言，我試教中設(shè)定的教學(xué)起點(diǎn)偏低，不符合他們的認(rèn)知起點(diǎn)。回避學(xué)生的方法只會(huì)讓他們感覺(jué)自己還有更好的方法，始終沉浸在自己的方法中。對(duì)其他方法沒(méi)有興趣。只有讓他們把自己的想法先表達(dá)出來(lái)，再來(lái)理解其他的方法才會(huì)滿足他們表達(dá)的愿望，激發(fā)他們的興趣。因?yàn)檫@時(shí)候，“從2個(gè)點(diǎn)畫起”就成為又一種新方法，需要思考和理解，學(xué)生自然又有了興趣。

[對(duì)比思考]

回顧兩次教學(xué)活動(dòng)，第一次試教中比較多地關(guān)注教材的分析：“隱蔽”、“更抽象”、“難度大”都是研讀教材獲得的。而第二次教學(xué)中更多側(cè)重對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的分析，學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)巨大的認(rèn)知差異是在分析學(xué)習(xí)對(duì)象中發(fā)現(xiàn)的。

我們都知道如今課外奧數(shù)輔導(dǎo)可以說(shuō)是鋪天蓋地，這一點(diǎn)是我們沒(méi)有辦法回避的現(xiàn)實(shí)。于是，我們可以肯定學(xué)生認(rèn)知與課內(nèi)知識(shí)之間有差距，而與數(shù)學(xué)廣角的差距就更大了，有的學(xué)生是零起點(diǎn)，可以說(shuō)一片空白，有的學(xué)生早已爛熟于胸，比課本知識(shí)學(xué)得深得多。在“數(shù)學(xué)思考”一課的教學(xué)中，我們既不能回避學(xué)生已有的認(rèn)知水平，又不能忽視本課要向?qū)W生滲透的“化難為易”的數(shù)學(xué)思想。畫圖雖有局限性，點(diǎn)數(shù)增多的時(shí)候，畫圖就會(huì)變得很困難。但是，畫圖也是解決問(wèn)題的一個(gè)好辦法，我們可以在畫圖中找到規(guī)律，解決問(wèn)題，這是畫圖的重要價(jià)值，通過(guò)分析畫圖的過(guò)程也很好地滲透了“化難為易”的數(shù)學(xué)思想。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知起點(diǎn)，不僅限于邏輯關(guān)系上的知識(shí)基礎(chǔ)，而且還包含現(xiàn)實(shí)生活中積累的經(jīng)驗(yàn)，即學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。這一點(diǎn)越來(lái)越成為廣大教師的共識(shí)。而且，學(xué)生學(xué)習(xí)渠道越來(lái)越寬了，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新知識(shí)以前往往已經(jīng)有了相當(dāng)豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐積累。筆者任教的是一座城市小學(xué)，我發(fā)現(xiàn)在許多知識(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)都高于邏輯起點(diǎn)，在教學(xué)前總有學(xué)生已經(jīng)能夠應(yīng)用已有的知識(shí)解決新授的內(nèi)容。因此，我們不能把學(xué)生視為一張白紙，在研讀教材的同時(shí)，充分了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)顯得尤為重要。只有把學(xué)習(xí)活動(dòng)的起點(diǎn)建立在學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，學(xué)生才會(huì)感到親切、自信，從而產(chǎn)生認(rèn)知的沖動(dòng)，積極投入到學(xué)習(xí)中去，主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)。

責(zé)任編輯：陳國(guó)慶