設疑激思　逐層深入促進學生“數學化”的過程——“數學廣角

孫　明　馬金國

教學內容：人教版小學數學3年級下冊第9單元數學廣角例1。

教學目標：

1．通過生活中學生易于理解的簡單事例，使學生初步體會利用集合思想解決簡單實際問題的基本方法，滲透并初步體會集合的有關思想。

2．能運用直觀圖靈活解決簡單的實際問題，學習解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。

3．利用生活事例讓學生感受數學與生活的密切聯系，激發學習數學的興趣。

教學重、難點：體會集合思想，解決簡單問題。

教學準備：學生姓名卡片兩張，答題紙一張。

教學流程：

一、創設情境，引出問題

師：有一個好消息要告訴大家，學校要在咱們學年成立兩個課外活動小組：一個是趣味數學活動小組，一個是小小文學社。你們想不想參加?那好，我們就現場來報一下名。

師：不過有個要求，一定要選擇自己的強項來報名，想參加趣味數學組的同學就在這個圈里貼一張名片，想參加小小文學社的把名片貼在另一個圓圈里。

生：老師，可不可以兩個都報名?

師：如果在兩方面都具有能力，也可以都報。

師：我們看看大家報名的情況，數學組多少人，文學社呢?

生：27人，26人。

師：我們已經知道參加數學組和文學社各有多少人，現在，學校要知道我們班報名參加這兩個小組的一共有多少人，誰能來說說?

生：53人。

師：你怎么知道的?

生：27+26=53。

生：不對，我們班沒有那么多人?我們班只有42人。

師：到底是多少人?那剛才53人是怎么回事?

生：有的同學兩個小組都報名了，名字貼重了。

師：舉個例子說說。看來，問題就出在有的同學既報了數學組，又報了文學社，名字貼重了。

師：這兩個圈里除了有兩項都報的，還包括什么情況?

生：只參加數學組，只參加文學社。

師：看來，如果還是用這兩個圈，已經不能把這些報名情況清楚地表示出來了。請同學們想想辦法，怎樣能直觀、清楚地表示出每種報名情況中包括哪些同學呢?自己先想想，也可以在紙上圈一圈、畫一畫，互相交流一下。一會我們一起來解決這個問題。(板書課題。)

二、實踐操作，探求方法

(生操作探究，小組之間交流。)

1．匯報方法。

師：都研究完了嗎?來，我們先來看看這個小組是怎么做的。

組1：在中間畫一個圈，把兩項都報的名字從兩個圈里都拿出來，貼一張在中間，表示兩個小組都參加，這樣就不重復了。

師：按你的方法，告訴大家怎樣做吧。

組1：請兩項都報的同學把剛才貼的兩張名片都拿下來，在中間貼一張。

師：大家看看，還有沒有重復的。

師：他們表示了自己的想法，還有哪個小組也是這樣做的?很好，請你們先站在旁邊，看看其他小組的想法。

組2：(拿圖紙到前面來。)我們也是把那些重復報名的人名都拿出來，在中間只貼一張。可以把左邊的圈畫大點，把中間的名圈進去，把右邊的圈也畫大一些，也把中間的人名圈進去。中間表示既是數學組，也是文學社，左邊是只參加數學組的，右邊是只參加文學社的。這個大圈里的就都是數學組的，這個大圈里的都是文學社的。

師：哪個小組的想法和他們是一樣的?

2．質疑辯論。

師：這兩個小組講出了自己的想法，到底哪種方法更能清楚地表示出各種不同的報名情況呢?

組1：我覺得我們的方法挺好，直接把兩項都報的名字貼中間，圈起來，別人一看就知道這是兩項都報的，這是只報數學組，這是只報文學社的。

組2：這樣不行，放中間別人怎么知道是干什么的?

組1：標上不就行了嗎?

組2：中間的也是參加數學組的，這里也是參加數學組的，這樣看好像跟兩邊都沒關系，我們覺得應該把數學組的都圈起來。

組1：可以畫上大括號。

組2：這樣不就是像我們這樣把這兩部分放在一起嗎?我們這樣圈上就更清楚了。

組2：那你們的所有數學組都在哪呢?

組1：(用手圈出左邊和中間的兩部分。)

組2：那你們圈的不就是我們的圖嗎?你們只表示出了3個部分，我們用兩個圓交叉可以表示5個部分。

師：我們再聽聽大家的意見，好嗎?

生：第二種好，因為可以把各種報名的情況都表示出來。

師：這組同學，你們接受大家的建議嗎?數學知識要求嚴謹、嚴密，大家都覺得第二種方法更科學、準確。真的要感謝兩個小組的同學給我們帶來的這場精彩的辯論，正是你們的敢于質疑、敢于爭辯，讓我們看到了一種鉆研、求真的學習品質，為他們的精彩表現鼓鼓掌。

3．理解5個部分的意義。

師：我們按大家認可的這種方法把黑板上的圖調整畫一下。同學們看，這個圖有什么變化?(兩個圈——兩個相交在一起的圈。)

師：(指中間。)中間這部分表示什么?

生：既參加數學小組，又參加文學社的。(師貼名稱，讓學生數出人數——11人。)

師：(分別指兩邊。)這部分表示什么?多少人?

生：只參加數學組的有16人，只參加文學社的有15人。

師：(指左邊的大圈。)這表示什么?

生：這些都是參加數學組的。

師：除了大圈里的這些同學，還有沒有參加數學小組的了?怎么說更準確。

生：所有參加數學組，所有參加文學社。

師：這個“所有”用得很準確。

師：看屏幕，看到圖中變色的部分，馬上說出它所表示的意義。看來同學們對于這個圖中5個部分所表示的意義非常清楚。

師：剛才，同學們通過小組合作研究、大膽的嘗試，又通過不斷的調整、完善，我們找到了一種比較科學、準確的表示方法，知道了圖中各個部分所表示的意義。接下來，我們就應用這種表示方法來解決前面我們說的那個問題。

三、應用概念，解決問題

1．多種算法。

師：同學們看黑板，5個部分的數據都有已經統計出來了。(課件出示。)請你結合它們各自所表示的意義，合理選擇你需要的數據，怎樣計算報名的總人數呢?自己在草紙上算一算，看看誰能想出不同的方法，然后在組內交流。

(巡視過程中發現以下4種解法，讓學生板書在黑板上。)

師：(指第一種。)這是誰算的?你來給大家講講吧。

生1：27+26-11=42(人)。

師：給大家解釋一下。(說說算式的意義。)

生1：(指黑板。)27人表示所有參加數學組的，26表示所有參加文學社的。27人包括中間的11人，26人也包括這11人，加起來就把這11個人算重了，所以再減去11人，等于42人就是報名人數。

師：大家聽出來沒有，他在講的時候，哪里重點強調了?

生：中間那11個人不能算重了。

生2：16+11+15=42。16表示只參加數學組的，11表示既參加數學組。又參加文學社的，15表示只參加文學社的。把這3個部分分別相加就求出共有多少人報名。

生3：27+15=42。

師：這是誰寫的?這樣，你來請一位你信任的同學講講，看看他講的對不對?

生：參加數學組的所有人+只參加語文組的=總人數。

師：他講得你滿意嗎?同學們覺得呢?

生4：16+26=42。(指黑板)

師：最后大家一起說說吧。

生：只參加數學組的+參加語文組的所有人=總人數。

2．總結歸納。

師：同學們很善于觀察，能從不同角度思考，找到了多種解決問題的方法。后面這3種方法(畫大括號)和第一種方法比較一下，解題思路有什么不同?

生：第一種是先相加，然后再減掉重復的。后3種都是在每部分不重復的情況下，只要不遺漏地把每一部分都加上，也能求出總人數。

師：無論哪一種方法，都要注意哪一個關鍵的問題?

生：都要考慮到中間這11個人不能重復計算。

師：在解決問題的過程中，你覺得這個圖對我們有什么幫助?

生：很清楚，很直觀。

師：大家感受到了借助這種圖我們可以直觀、清晰地分析數量間的關系，來解決問題。

師：這種圖是由19世紀英國著名的邏輯學家韋恩發明的。后來，人們為了紀念他，就把這種圖叫做韋恩圖。感興趣的同學可以在課后查找這方面的資料深入了解一下。

四、生活拓展

師：同學們，2009年2月，將有個隆重的體育盛會在我們哈爾濱召開，知道嗎?(世界大學生冬季運動會。)這對于我們每一位來說都是一次展示風采的機會。哈爾濱師范大學外語系的學生積極報名擔任大冬會的志愿者。我們看，這是他們報名的情況。

(課件出示：師范大學外語系共有50名同學擔任大冬會的志愿者，他們中間會說英語的有39人，會說日語的有20人。)

師：分析以上數據，你能發現什么問題?

生：一定有兩個小組都參加的。因為兩個小組人數加起來超過了總人數。

師：你能用韋恩圖把這些信息清楚地、完整地表示出來嗎?在答題紙上畫一畫。

(生展臺匯報，每個部分所表示的意思，以及數據。)

會英語39人會日語20人

師：說說你為什么這樣畫。給大家指著說說每部分表示的意義。

生：(指在大圈。)這部分表示所有會英語的39人。(指右大圈。)這部分表示所有會日語的20人。中間表示既會英語又會日語的9人。

師：能說說這9個人是怎樣得到的嗎?

生：39+20-50=9人。

師：為什么這樣算就可以求出兩種語言都會的有9人?

生：因為39人包括兩種都會的，20人也包括兩種都會的，加起來就比總人數多。多的那些正好是把兩種都會的加了兩次，多加了一次，減去總人數，就是兩種都會的9人。

師：其中的算理講得非常清楚。

生：這部分表示只會英語有30人，只會日語有11人。

生：其他同學能不能說說這兩個數又是怎樣算出來的?

生：39-9=30，20-9=11。

師：圖畫得清晰、準確，每部分的意義及數量關系講得很清楚。計算每一部分報名的人數，還可以有其他不同的方法，課后的時候，大家可以再試一試。

師：(總結)同學們，這節課我們借助直觀圖表示出生活中的一些數學現象，并進行觀察、分析，找到了解決這類重復問題的一般方法。更為可貴的是大家能學以致用，用這些方法去解決生活中數學問題。孫老師相信同學們在我們經緯小學這個大家庭里一定會學有所得、學有所樂。

評析：

小學數學教學的重要目標之一是要系統而有步驟地滲透數學思想方法，培養學生數學的思維能力。孫老師所教學的“數學廣角”一課所涉及的是集合的初步認識。集合思想是數學中最基本的思想。由于它比較抽象，所以教師在教學中借助生動有趣的事例引出問題，激發矛盾沖突，引導學生逐步深入思考，促進學生“數學化”的學習過程。

一、設疑激思，引發認知沖突

通過現場報名參加學校舉辦的“數學趣味小組”和“小小文學社”的活動作為教學素材展開教學。當學生通過計算發現報名數超過了班級的總人數時，引起學生的認知沖突，進而引導學生探尋更科學的表示方法——借助集合圖把兩個小組的關系表示出來，以解釋這一數學現象。

二、逐層深入，滲透數學思想方法

在本課中，孫老師著力引導學生通過觀察、操作、實驗、交流等活動，由淺入深。逐層深入地滲透數學思想方法，促進學生的思維活動，逐步形成有序的、嚴密的思考問題的意識。

1．操作探索，啟發思維。

當學生發現幾種報名情況在兩個圈里不能清楚地表示出來時，教師鼓勵學生想辦法，圈一圈、畫一畫，尋找一種清楚、科學的表示方法。遇到問題，觀察調整，是學生思維活動的第一步。

2．質疑辯論，深化思維。

學生匯報自己的想法時，教師為學生創設自我表達、相互質疑、辯論的機會，把學生的思維逐步推向深入。引導其經歷操作、探索、發現、調整、完善的過程，就是“數學化”的過程。

3．總結歸納，提升思維。

數學思想融于數學知識體系中，并隱身于其后，因此，適時對數學思想做出歸納、概括是十分必要的。在學生探究、發現的基礎上，教師引導學生說出圖中各部分所表示的意義，再借助直觀圖從不同角度思考，根據數據列式計算出總人數。在這個過程中引導學生發現解決問題一般方法的規律性，以及不同方法之間的內在聯系，進一步感受到集合思想的應用價值，使學生的思維上升到更為抽象的理性認識領域，經歷從現象到問題再到本質的深刻思考。

三、實踐運用，促進學生數學化的過程

運用所學知識，解決生活中的實際問題，使學生學以致用是我們數學教學的重要目標之一。最后，教師出示這樣一組數據：師范大學外語系共有50名同學擔任大冬會的志愿者，他們中間會說英語的有39人，會說日語的有20人。把前面具體形象的圖形轉化成抽象的文字，讓學生運用集合的思想解決實際問題，從整體上對知識進行鞏固，提高學生對數學思想方法的運用意識，也使其對運用數學思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解。這樣有利于學生活化所學知識，提高形成獨立分析、解決問題的能力。

數學思想是數學的靈魂，它是對數學知識的高度概括，會給學生留下長久的思想激動和對知識的深刻理解，在一段時間后，他們可能會把具體的知識淡忘了，但從數學角度去思考問題的方式卻將伴隨終身。我們進行數學教學的目的，是通過數學知識和觀念的培養。讓學生形成一種數學頭腦，將數學知識真正建立在數學思想方法基礎之上，真正促進學生“數學化”的過程，用思想方法指導學生掌握數學的核心內容，讓學生能將知識和方法用于今后的工作和生活之中。

個人簡介

孫明特級教師、中學高級教師，省優秀教師、骨干教師、數學學科最佳教師，哈爾濱市首批學科帶頭人。2008年北京奧運會火炬手，曾先后4次獲全國數學課堂教學大賽一等獎。在全市推出了以“精雕細琢、融情寓理、潤澤生命”為題的“孫明教學風格研討會”。