基于計算機模擬的交通燈時間控制問題

葉笑飛

摘要：文章主要討論城市交通燈的開啟時間間隔的問題，在一些假設的基礎之上，把城市交通燈周期時間控制問題進行簡化，目的是使得路口的日平均車流量最大。根據實際情況，給出車輛行駛的一套規則，利用計算機仿真技術進行模擬，得到最優交通燈的間隔時間。

關鍵詞：交通燈；車流量；計算機模擬

中圖分類號：U491.5+1文獻標識碼：A

文章編號：1002-3100(2009)01-0136-03

Abstract: This article focused on the time contorl of the city traffic lights. Under a number of assumptions, the city traffic lights control problem can be converted into a simple model to maxi mize the crossing daily average traffic flow. According to the actual situation, given a set of rules, using computer simulation technology to get the optimal time control of the traffic lights.

Key words: traffic light; vehicle flow; simulation

0引言

在現代社會中，交通問題已成為影響和制約國民經濟發展的重大因素，而城市交叉口是城市道路網絡的關節點，對其進行深入的研究是解決城市交通問題的關鍵所在。本文通過建立交通系統運行情況的數學模型，在一定的假設情況下，制定一些符合實際和遵循假設的規則，以模擬道路網絡的車輛運行情況的方法，對其進行研究，也就是交通仿真模擬。交通仿真技術是利用現代系統工程和計算機仿真技術成果發展起來的新的交通研究方法，它對于描述多變的、復雜的隨機性過程非常有效。通過運用這種仿真技術，在計算機的環境下得以實現，可以更有效地掌握道路交叉口的各種復雜情況，對交通燈的開啟時間進行研究，設計出城市交通燈各燈的開啟時間，使得車流量最大，這對于城市交通問題的解決，是有著積極推動作用的，即在有限的道路資源條件下，盡可能大的提高交通運輸能力。

綜上所述，本文所討論的問題即為設計各路口各方向的交通燈的紅、綠燈亮的時間，使得日平均車流量最大。

1基本假設

針對以上提出的問題，作出如下的基本假設：設某城市的道路寬度B都相等，道路上雙向行駛車輛，不考慮中途停車，且各方向的車流密度相同，道路網由無數條無限長且互相垂直的等寬（寬為B）的路組成，每個四條道路圍成的街區呈正方形，邊長為L，所有的車都直線行駛（不轉彎、不超車），車長都為S，最大車速為v，行駛時安全車距（車頭到前方車尾之距離）為D，停車時安全車距為d，車輛在停車線上從靜止到穿過路口車頭到達另一停車線（距離為B）所花時間為T=秒。

2問題的簡化及其推導

假設1各個路口各個交通燈的周期T是一樣的。

這里所說的周期T是指交通燈一次紅燈時間T和一次綠燈時間T之和，即T=T+T，并且同時要求各個交通燈的T與T也是一樣的。

假設2每條道路具有“狀態對稱性”。

由于是無限的道路網絡，根據基本假設，每條道路的車流密度相同，而且這個網絡具有幾何對稱性，再有周期T相同，可以推出整個道路網絡的路況參數（包括車輛數、車距、車流量等）是相同的，也就是說，不存在任何一條有特殊狀態的道路，所以說它具有“狀態對稱性”，即假設是合理的。

結論1設T為一次紅燈時間，T為一次綠燈時間，則T=T+2T，其中T=。

證明：當某個路口的其中一個燈（不妨設為橫向交通燈）由綠燈變為紅燈時，仍然有一輛車正從停車線沿原方向開出，如果縱向的交通燈立即由紅燈轉為綠燈，則兩個方向的車有可能在十字路口相撞，為了交通安全起見，必須使紅燈有一個所謂的“滯后時間”，以確保橫向開出的最后一輛車安全通過，而一次安全通過的時間為T=。同樣，當縱向燈再由綠燈轉為紅燈時橫向燈的紅燈也應該有一個“滯后時間”，以保證縱向開出的最后一輛車安全通過，即得T=T+2T。

顯然，T=＞0，所以有T＞T＞0，即紅燈時間不為零，也就是說，不可能出現某個方向總是綠燈行駛，這也比較符合實際的情況。

結論1保證了每個路口的橫向和縱向交通車流的平衡性，即在橫向行駛和縱向行駛中做到了一種公平性，以保證每個方向的車流都能通過路口。再由假設2，道路具有“狀態對稱性”，即橫向道路和縱向道路是對稱的，所以可以將問題從考察整個道路網絡轉化為考察一條道路的情形。

結論2每個“B+L路段”的車流量相同。

證明：我們知道，車流量指的是單位時間內通過道路某一個截面車輛的數目。所以車流量是一個關于車輛流狀態和周期T的函數，由道路網絡的“狀態對稱性”，可以將一個“B+L路段”進行平移，其狀態參量是不變的，則結論3成立。

所以最終將原來對整個網絡求日平均車流量轉化為對一個單向單道的“B+L路段”求日平均車流量，不妨以這個“B+L路段”中的一條停車線為計算車流量的截面。以下將建立模型并具體求解。

3模型的建立

針對一個單向單道的“B+L路段”，運用道路仿真模擬的方法，即設出每輛車的狀態參量，制定出一些“行駛規則”，在計算機的環境下，讓車輛流按照“行駛規則”（也就是在一些約束條件下）進行道路交通模擬，最后得出最優值。

對于一個單向單道的“B+L路段”，建立一維坐標軸 Ox，以上一個“B+L路段”的停車線為原點，車輛行駛的方向為x軸正向。設車輛數為n，此路段上的車輛流狀態為X,V,A，其中X為位置分布x,x,…,x，V為速度分布v,v,…,v，A為加速度分布a,a,…,a，則對于每一個x,v,a，i=1,…,n，可以確定車i的狀態，車輛流i，i=1,…,n，按位置坐標x,0＜x≤B+…，從小到大依次排列，且車n一旦越過停車線（B+L位置），上一路段必有一輛與此車狀態相同的車駛入此路段，即為此路段下一狀態時的車1，其余各車的下標順次加1。設在單位時間內經過停車線的車輛數為M（即車流量，單位為：輛/s），則模型為：max M（X,V,A），T，其中一些約束條件如下，T=T+T；T=T+2T；T,T,T＞0。

另外，根據生活實際情況，為了保證橫向行駛和縱向行駛的公平性，以及保證道路網絡的暢通，則還要的約束條件如下：

（1）不允許一輛車在一個周期內，連續通過兩個“十字路口”，（否則會使另一個方向上的車輛等待時間過長）則＞T。

（2）車輛流狀態X,V,A滿足“行駛規則”（見下文）。

4模型的求解與檢驗分析

只要確定“B+L路段”上車輛流的初始狀態，就可以具體求解。給定如下初始狀態（參見[1]）：設t＝0為某紅燈轉為綠燈的時刻，此時的分布為n＝n1+n2，其中n1為在路口等待的車輛數，且間距為d，其余n2輛車以速度v行駛且在剩余路段均勻分布。以下分別對不同的n（對同一個n，再取幾組不同的n1，n2），在以上分布下，進行計算機模擬，得出不同情況下的車流量最大值M及對應的周期最優值T_opt，如下表：

通過分析以上數據得到：

（1）對于同一個n，其不同的初始分布得到的最大車流量M及其相應周期T_opt基本都一樣，只有微小的波動。

（2）對不同的n，當n較小時，隨著n的增大而增大，其后趨于穩定，最后，當n大到一定程度時，無可行解。

于是對n2＝0時的不同的n求得一組值，用Matlab進行擬合得到如上圖。

通過上圖進一步弄清了最大車流量M隨n的變化趨勢：

（1）當n較小時（n<15左右），M與n近似滿足線性關系。

（2）當n>25以后，M趨于平穩。

（3）當n>128以后，無可行解。

5對模型的評價及其應用

對于上述的模型有以下幾點不足：在運用“行駛規則”編程時，實際上是將一個連續的過程轉化為有一定時間步長的離散過程來處理，其中勢必會產生誤差。但這種誤差還是可以接受的，而且隨著硬件條件的改善和程序的改進，可以減小步長，增加模擬時間來提高精度，但同時計算機的運行時間也會相應增加。

參考文獻：

[1] 劉燦齊，楊曉光． Grace車隊密度散布模型的更正及應用[J]. 公路交通科技，2001(1):55-59.

[2] 許波，劉征． Matlab工程數學應用[M]． 北京：清華大學出版社，2000．

[3] 吳翊, 吳孟達, 成禮智. 數學建模的理論與實踐[M]. 北京：國防科技大學出版社，1999.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。