讓數學課堂閃爍智慧的火花
——《合理安排》教學片段及感悟

■王釗

讓數學課堂閃爍智慧的火花
——《合理安排》教學片段及感悟

■王釗

【推薦者的話】王釗老師是一位年輕的優秀教師，她在“武漢市首屆名特優教師教學展示觀摩活動”中作為優秀教師的代表執教了《數學廣角——合理安排》這節課。王釗老師以獨特新穎的教學設計、跌宕起伏的教學環節、和諧融洽的師生交流獲得了與會教師的一片贊譽之聲。王釗老師勤奮、好學，在這節課的備課中不僅一次又一次地鉆研教材，而且大膽地用批判的眼光去閱讀教參。她用自己的思考孜孜地追求教學的藝術，用智慧的火花為我們奉上了一節難得的好課！

——武漢市教科院特級教師 馬青山

一、背景導讀

《合理安排》是義務教育課程標準實驗教科書數學（人教版）四年級上冊《數學廣角》的教學內容。本課主要是通過“烙餅”這一日常生活中的簡單事例，讓學生在經歷烙餅時怎樣合理安排最節省時間的討論過程中，嘗試從優化的角度在多種方案中尋找最合理的方案，體會運籌思想在日常生活以及解決問題中的應用。同時在本節課的教學中，教師還有意識地滲透養成合理安排時間的良好習慣的教育。我在本節課的教學中，以“合理安排”為貫穿全課的主線，開篇以《丁謂施工》的故事滲透合理安排，以展開探究烙餅的最優方案感受合理安排，結尾以解決簡單的實際問題運用合理安排。

二、教學片段

[片斷一]《丁謂施工》開篇，滲透合理安排。

師：“數學使人周密”，意思是人們在數學學習中可以發展嚴謹、周密的思維能力。古往今來，運用數學思想取得出奇制勝效果的事情屢見不鮮，我國古代著名的故事《丁謂施工》就是一例。

（課件播放《丁謂施工》的故事）

師：看完故事，你們覺得丁謂的安排怎么樣？

生1：非常巧妙！

生2：對對對！丁謂很聰明，想出了這么好的辦法！

師：是啊！這是因為他經過仔細思考，對工序進行了合理安排。其實，丁謂用的方法我們天天都用得著，這種巧妙合理的安排隨處可見。今天數學廣角的活動我們也來進行合理安排。

（揭示課題：數學廣角——合理安排）

[片斷二]探究烙餅方案，感受合理安排。

1.由烙3張餅入手，體會“鍋里總是有兩張餅在同時烙”才是合理安排。

師：這不，芳芳和媽媽就遇到了這樣一個問題。（課件播放課本第112頁情境圖）

師：同學們，從情境中你知道了些什么？

生1：每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鐘。

生2：一共要烙3張餅。

生1：盡快把3張餅都烙好。

生2：就是要用最短的時間把3張餅都烙好。

師：對呀！就是要用最短的時間把3張餅都烙好！同學們看，王老師也給你們帶來了一口鍋（教師邊說邊在黑板上畫出一口鍋），還帶來了3張餅（教師邊說邊在黑板上貼出3張餅），烙餅的哪一面就把餅的那一面朝下。

師：怎樣安排才能盡快烙好這3張餅呢？大家想一想，也可以用你手中的學具擺一擺。來，試試看吧！

（學生借助學具嘗試設計烙餅的方案）

師：誰來說給大家聽一聽，你是怎樣安排的？一共用了多長時間？

生1：我是一張一張烙的。先烙1號餅的正面，再烙1號餅的反面，烙好1號餅用了6分鐘；然后烙2號餅，又用了6分鐘；最后烙3號餅，也要用6分鐘。烙好3張餅一共用了18分鐘。

生2：我是先同時烙1號餅和2號餅的正面，用了3分鐘；再同時烙1號餅和2號餅的反面，又用了3分鐘；最后將3號餅單獨烙，用了6分鐘。我一共用了12分鐘。

生3：我的方法和他們都不一樣。我是先同時烙1號餅的正面和2號餅的正面，用了3分鐘；再同時烙1號餅的反面和3號餅的正面，又用了3分鐘；最后同時烙2號餅的反面和3號餅的反面，也是用3分鐘。這樣烙好3張餅一共只用了9分鐘。

（教師隨著學生的交流適時簡要板書）

師：同學們用不同的安排都烙好了3張餅，每種安排都有自己的道理，但你認為哪種安排最合理呢？為什么？

生：第三種安排。

師：為什么第三種安排最合理呢？我們一起來分析分析。

生：本來可以一次烙兩張餅的鍋第1種方案卻只放了一張餅，鍋沒有充分利用。

師：嗯！這種安排沒有使鍋得到充分利用，看來這種安排不太合理。第二種安排用的時間比第一種短，短在哪里呢？

生：第二種安排鍋里先同時烙兩張餅，再烙一張餅，這樣就節約了一張餅的時間。

師：有道理！如果只烙兩張餅，怎樣安排才合理呢？

生：應該兩張餅同時烙，先同時烙餅的正面，再同時烙餅的反面。

師：說得好！烙兩張餅時，先同時烙兩張餅的正面，再同時烙兩張餅的反面，這種安排最節省時間，是一種合理的安排。但是第二種安排用的時間比第三種多，多在哪里呢？

生：烙第3張餅時，鍋里只有一張餅，還空了一張餅的位子，所以浪費了時間。

師：那你們能不能想想辦法，不讓鍋里空出一張餅的位子呢？來，還是兩人一組，再來烙3張餅試試！

（學生兩人一組再次探究烙3張餅的最優方案）

師：誰來說一說，你是怎樣安排的？

（指名學生邊實物投影演示邊說自己的烙餅方案）

師：哎！為什么在烙完1號餅和2號餅的正面后，不接著烙1號餅和2號餅的反面，而要烙1號餅的反面和3號餅的正面呢？

生：因為只有這樣才能使鍋里始終有兩張餅在烙，否則鍋里最后就會只剩下一張餅。

師：說得太好了！現在知道為什么第三種安排用的時間最短了嗎？

生：就是因為第三種安排能保證鍋里總是有兩張餅在同時烙。

師：對！看來在烙3張餅的時候，為了節省時間，我們不應該把3張餅分成一張一張地來烙，也不應該把3張餅分成兩張和一張來烙，而應該把3張餅作為一個整體，交替地調換烙正面和反面的順序，使鍋里總是有兩張餅在同時烙，這才是合理的安排。

2.對烙4、5、6、7張餅探究，感受“按2張或3張餅分組”就能合理安排。

師：我們剛才通過多種烙餅方案，找到了盡快烙好3張餅的合理安排。如果要盡快地烙好4、5、6、7張餅，你能用剛才烙2、3張餅的經驗來找到一種合理的安排嗎？可以在小組里互相交流交流，也可以利用老師為大家準備的學具實際試一試，看看哪個小組能想出什么好辦法？

（學生分小組開展探究活動）

師：要烙4張餅，怎樣安排比較合理？

生：我們是這樣安排的，把兩張餅作為一組，2張2張地烙。一個2張需要6分鐘，兩個2張就要12分鐘。

師：哦，也就是把4張餅分成了兩組，每組2張餅，一組一組地烙。那5張餅呢？

生：我們的想法和他們烙4張餅的想法差不多，也是把餅分成兩組。5張餅可以分成一個2張和一個3張，一個2張需要6分鐘，一個3張需要9分鐘，一共需要15分鐘。

師：王老師也有個想法，你們看合不合理：我把5張餅分成三組，先烙2張餅，再烙2張餅，最后烙1張餅，你們看怎么樣？

生：不合理！因為烙最后1張餅的時候，鍋里還有空的位子，時間就不會最節省。

師：看來我們把餅分組的時候一定不能最后只剩下1張餅，每組里要么是2張餅，要么是3張餅。如果要烙6張餅，那又應該怎樣安排呢？

生1：可以把6張餅分成兩組，每組3張餅。一個3張需要9分鐘，兩個3張就要18分鐘。

生2：我們也是把6張餅分組，但和他們的分法不一樣。我們把6張餅分成三組來烙，每組2張餅，烙一組要6分鐘，烙三組就是18分鐘。

師：看來，用這兩種方法來烙6張餅都是合理的安排，既可以2張2張地烙，也可以3張3張地烙，這兩種方法所需要的時間是相同的。

生：王老師，烙7張餅怎么安排，我也知道了!

師：真的嗎！說給大家聽聽，你打算怎樣合理安排烙7張餅的問題？

生：我聽了5張餅、6張餅的安排，就想到要烙7張餅可以分成2個2張和1個3張來烙。2個2張要12分鐘，1個3張要9分鐘，一共要21分鐘。

師：真好！同學們通過共同思考、互相借鑒，在“烙餅”中找到了合理安排的方法，而且有時候合理的安排方法還不止一種，你們真是太了不起了！那么現在誰能說一說，烙餅時怎樣安排才合理呢？

生：要把餅按2張一組或3張一組分成若干組，這樣鍋里就總是有兩張餅在同時烙，這樣安排才是合理的。

（其他學生也紛紛表示贊同）

師：太棒了！為了保證鍋里總是有兩張餅在同時烙，我們就應該按2張或3張餅分組，這樣安排最節省時間，當然也就最合理了！

烙餅張數 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……最短時間/分 6 9 12 15 18 21 24 27 30 ……

（板書：按2張或3張餅分組）

3.用烙8、9、10張餅提升，推廣合理安排的方法。

師：我們已經找到了合理安排烙餅的方法，如果有8、9、10張餅，你們能說說怎么合理安排嗎？任選一個說說看！

（學生匯報，教師隨著學生的匯報逐步完成下面的表格）

生：王老師，我還發現了一個規律！

師：是嗎？說說看！

生：烙2張餅最少要用6分鐘，烙3張餅最少要用9分鐘……烙餅的張數乘3就是所要用的最少時間。

師：真的嗎？我們來看看！哇，果真如此，烙餅的張數乘3就是所要用的最短時間。同學們真了不起！

生：王老師，我也發現了，而且我還知道是什么原因！

師：是嗎？談談你們的想法！

生：本來在鍋里烙一張餅的時候，正面3分鐘，反面3分鐘，烙一張餅要花6分鐘。但由于鍋里可以同時烙兩張餅，也就是同時烙了兩個面，相當于烙了一張餅，也就相當于烙一張餅要用3分鐘。

師：你們都聽明白了嗎？

（其他學生紛紛點頭表示認同）假設兩個廚師做每個菜的時間都相等，應該按怎樣的順序炒菜？說說你的理由。

師：你們真讓我佩服！不僅找到了合理安排烙餅的規律，而且還發現了所用最短時間的規律，并能說出原因，太了不起了！

[片斷三]解決實際問題，運用合理安排

1.合理安排炒菜順序的問題（課本第114頁“做一做”第1題）

2.總結

師：同學們，在我們今天《數學廣角》里的活動中，你有什么體會嗎？

生1：我原來總以為《數學廣角》的知識很難，今天我卻發現其實《數學廣角》的內容非常有趣，也并不難，還比較簡單呢！

生2：對！而且我還非常佩服丁謂的巧妙安排，他太聰明了！

生3：我原來不知道怎樣合理地安排烙餅，今天我清楚了！

……

師：同學們說得太好了！像這樣的例子還有很多很多。試想一下：假如沒有學校的合理安排，我們能這么秩序井然地學習嗎？假如沒有科技工作者的合理安排，我們的“嫦娥一號”能順利探測月球嗎？你們知道嗎？我國著名的數學家華羅庚爺爺在關于“合理安排”方面可是做出了巨大的貢獻，他提出的“優選法”已經廣泛地應用到我們的生產和生活之中。

三、教學感悟

作為這節課的設計與執教者，我想從以下幾方面談談自己的所思所獲。

1.數學文化的傳播點燃智慧的火花

就這節課而言，“合理安排”是運用了數學中著名的思想——運籌思想來進行的。在古代，運用運籌思想的代表人物有田忌賽馬中的孫臏、運籌帷幄的張良、神機妙算的諸葛亮、巧妙施工的丁謂等等。現代代表人物則有我國著名的數學家華羅庚。為了讓學生真切地感受到合理安排的作用，我用《丁謂施工》的flash動畫開課。那生動有趣的對話和精心巧妙的施工，讓學生由衷地對丁謂的合理安排拍手叫絕，同時也使“合理安排”在他們的腦海中留下了深刻印象。這段運用數學思想方法取得出奇制勝效果的故事將學生的智慧之門一點點開啟，將他們智慧的火花一點點點燃，一場好戲就要開始了！

課后，一個學生興致勃勃地跑來問我：“王老師，我讀過《運籌帷幄》的故事，劉邦的軍師張良坐在軍帳中排兵布陣，就能決定千里以外一場又一場戰斗的勝利。他是不是也進行了合理安排呢？”看，這個孩子就能運用學過的數學知識思考讀過的文章，這就是理性的思考。我對他說：“對！正是張良的合理安排取得了戰斗的勝利。”這個學生若有所思地點點頭。

2.合理安排的過程閃爍智慧的光華

本節課是借對烙餅的合理安排讓學生體會運籌思想在生活中的廣泛應用，對于如何合理安排烙餅問題我力求從以下三個層次體現：

第一個層次，從烙3張餅入手，主要解決什么樣的安排才是合理安排。聽了很多節同樣內容的課，大都是按照烙1、2、3……張餅這樣的順序逐步引導學生展開探索的，但我似乎總感到學生是在教師的安排和牽引下按部就班地學習，主動探求的欲望還不夠。于是，我思考著能不能把“怎樣安排才能盡快烙好這3張餅”的問題一開始就拋給學生，讓他們在多種方案的比較中感受到“怎樣安排最節省時間”。學生中馬上呈現有三種安排：第一種是一張一張地烙，要用18分鐘；第二種是先同時烙2張餅，剩下的1張餅單獨烙，要用12分鐘；第三種是采取3張餅交替烙的方法，只花9分鐘。學生的積極性立刻被調動起來了，他們思維的火花開始碰撞，當老師的“但你認為哪種安排最合理呢？為什么？”一問擲出，一石激起千層浪，同學們迫不及待地想表達自己的想法。這時，老師不慌不忙，在引導學生比較這三種安排合理性的過程中，“鍋里總是有兩張餅在同時烙”，才最節省時間，這樣的安排就是合理安排也就水到渠成了。

第二個層次，討論、實驗烙4、5、6、7張餅，主要解決若干張餅怎樣合理分組安排。有了前面烙2、3張餅的經驗，我讓同學們分組討論、實驗，如果烙4、5、6、7張餅怎么安排合理。這時，有的學生沒有去實際“烙”了，而是直接提出了烙4張餅的合理安排就是將4張餅分成兩組來烙，每組2張餅。這樣利用烙2張餅的經驗，就能很快得出了烙4張餅的合理安排。這個組的意見一提出來，立即得到了其它小組的認同和借鑒，同學們爭先恐后地說出了烙5張餅的合理安排也是分成兩組來烙，一組2張，另一組3張。令我驚喜的是烙6、7張餅時，同學們不僅將分組的方法由兩組自動擴充到多組，而且還有了多種不同的分組方法。可以欣喜地說，學生是真感受到了只要“按2張或3張餅分組”就是一種合理安排。

第三個層次，通過烙8、9、10張餅，主要解決安排的規律和時間的規律相結合。學生在運用分組的規律進行烙8、9、10以及更多張餅的合理安排時，又在黑板上所填表格不經意地“引導”下發現了最短時間的規律。這里看似“不經意”，實則是教師“有意”，既緊緊圍繞著“合理安排”進行教學，又在數學活動中有意識地發展學生的思維。我真為學生的發現由衷地感到高興，這不就是學生智慧的火花在閃爍嗎？

3.教師精彩的瞬間放飛智慧的魅力

本節課的另一個閃光之處就是我現場徒手畫出了一個“鍋”（圓），吸引了學生和在場聽課的教師。另外，所有的板書我全是現場寫、畫，體現了一個數學教師應當具備的基本功。早在師范讀書的時候，我就對學生學習的歸因作過調查和分析，發現小學生的學習歸因外部因素（即教師、家長、學習環境諸方面）有很大作用，其中教師的影響尤為深刻。所以，教學中一定不要忽視了自己的榜樣示范作用和人格魅力。

（作者單位：武漢市育才小學）

責任編輯 廖 林