關(guān)于曲線之切線的求法

摘要： 曲線的切線是高考命題頻率較高的知識點之一。《平面幾何》中圓的切線、《解析幾何》中圓錐曲線的切線、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)中求曲線的切線，經(jīng)歷了從一般到特殊，從低級到高級的認知過程。本文主要從求法的角度整合對各階段切線的認識、理解， 從而靈活地掌握求曲線的方法。

關(guān)鍵詞： 曲線 切線 幾何法 判別式法 導(dǎo)數(shù)法

一、切線的定義

由《平面幾何》中切線的定義、《解析幾何》中切線的定義并結(jié)合《極限理論》中曲線的切線的定義，可以概括出曲線的切線的統(tǒng)一定義為：直線與圓錐曲線有兩個重合的交點，這樣的直線是曲線的切線，這個交點是切點；從運動變化的角度來看，這個交點是動點的極限位置。

二、切線的求法

從定義的內(nèi)涵來看，它來源于兩個理論基礎(chǔ)知識體系。因此求曲線的切線的方法有著各自不同的適用范圍。從靜態(tài)定義來看，幾何法和判別式法均適用于二次曲線，思路方法相對簡單，但運算量較大；從動態(tài)定義來看，導(dǎo)數(shù)方法適用的范圍更廣，方法更簡捷，運算量一般較小，是求曲線的切線的通法。

1.幾何法。因為圓具有特殊的幾何性質(zhì)，故幾何法一般可用于求圓的切線。

例1：已知M（x ，y ）點是圓C：x +y =r 上一點，求過點M的圓的切線。

分析：圓的切線的幾何性質(zhì)是圓心與切點的連線垂直于圓的切線（或圓心到切線的距離等于圓的半徑）。由此很容易依據(jù)點斜式和斜率不存在時兩種情況寫出過圓上一點M（x ，y ）的切線為：xx +yy =r 。變式：

（1）求過圓P：（x-a） +（y-b） =r 上一點M（x ，y ）的切線。

分析：利用圓的切線的幾何性質(zhì)得出所求的切線為：（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）=r 。

（2）求過圓P：（x-a） +（y-b） =r 外一點M（x ，y ）的切線。

分析：利用圓心到切線的距離等于圓的半徑這一幾何性質(zhì)可求。（過程略）

2.判別式法。不僅可以求圓的切線，也可以求其他圓錐曲線的切線。

例2：設(shè)P（x ，y ）是雙曲線 - =1（a＞0，b＞0）上一點，求過點P（x ，y ）的雙曲線的切線。

分析：①若P（x ，y ）為雙曲線的實軸的端點，即x =±a，y =0時，過點P的雙曲線的切線的斜率不存在，切線為：x=x 。②若P（x ，y ）不是雙曲線的實軸的端點，則切線的斜率存在。不妨設(shè)為k，切線方程為y-y =k（x-x ），與雙曲線 - =1（a＞0，b＞0）聯(lián)立方程組并消去y得y y=p（x+x ）。

∵上述方程有兩個相等的實根，

∴b -a k ≠0且V=4a k （y -kx ） +4（b -a k ）［a （y -kx ） +a b ］=0

又b x-a y=a b 代入判別式化簡得（a ky -b x ） =0，

∴k=

∴所求的切線為：y-y = （x-x ），整理得 - =1。

顯然當(dāng)切線的斜率k不存在時，即x =±a，y =0也滿足上面的方程。

∴過雙曲線 - =1（a＞0，b＞0）上一點P（x ，y ）的切線為： - =1。

同理，其他圓錐曲線的切線也可以用判別式法得到：

推廣：（1）過橢圓 + =1（a＞b＞0）上一點P（x ，y ）的切線為： + =1。

（2）過拋物線y =2px（p＞0）上一點P（x ，y ）的切線為：y y=p（x+x ）。

點評：直線是圓錐曲線的切線?圳直線與圓錐曲線有兩個重合的交點?圳直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組有惟一一組實數(shù)解?圳一元二次方程有相等實根?圳二次項系數(shù)不等于0且△=0。

三、關(guān)于切線的幾條結(jié)論

綜合對二次曲線和一般曲線的切線的認識，得出以下幾條結(jié)論：

1.直線與曲線相切有切點，但未必只有一個公共點；

2.直線與曲線相切，切點可以有無數(shù)個。如y=sinx在點（2kπ+ ，1）（k∈Z）處的切線y=1，與曲線y=sinx有無數(shù)個公共點，且每個公共點都為切點；

3.過曲線上一點不一定存在切線，如曲線上的孤立處沒有切線；

4.過曲線上一點的切線如果存在，曲線不一定在切線的同側(cè)，如雙曲線在切線的兩側(cè)。

通過對幾種求切線方法的認識，進一步理解了切線的概念及有關(guān)的性質(zhì)，尤其是對于導(dǎo)數(shù)法的理解，其實質(zhì)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立了導(dǎo)數(shù)與解析幾何知識的關(guān)聯(lián)。運用導(dǎo)數(shù)知識解決相應(yīng)的解析幾何問題，是在知識交匯處命制試題的一個熱點，也是培養(yǎng)綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的重要途徑。

參考文獻：

［1］劉紹學(xué)主編.數(shù)學(xué)（選修2-1）.北京：人民教育出版社，2007.

［2］張喜堂主編.數(shù)學(xué)分析（上、下）.武漢：華中師范大學(xué)出版社，1995.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”