淺談定積分的定義

摘要定積分是一元函數(shù)微積分學(xué)的基本概念之一，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。定積分因?yàn)楦拍畋容^抽象，初學(xué)者往往難以理解。本文講述的是如何講授才能使學(xué)生理解定積分的定義和幾何意義，并在講授的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞實(shí)際應(yīng)用模型極限工具分割

中圖分類號(hào):O13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

定積分的概念是來源于實(shí)際應(yīng)用模型，借助于極限工具，以結(jié)構(gòu)性的形式而嚴(yán)格定義的。研究的是在某區(qū)間上的非均勻量的求和問題，通過“分割、近似、求和、極限”四個(gè)步驟完成。定積分的概念在積分學(xué)中既是重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)。

1 定義的引入

1.1 求曲邊梯形面積

(1)介紹曲邊梯形:由曲線與直線及軸所圍成的平面圖形。

(2)如何計(jì)算曲邊梯形的面積?

(3)啟發(fā)講解:

A復(fù)習(xí)矩形、梯形面積的求法;

B 提出問題:曲邊梯形面積該如何求?(學(xué)生討論)

C 討論歸納:① 對(duì)曲邊梯形進(jìn)行分割，且分割得越細(xì)越好;

② 分割出來的每個(gè)窄曲邊梯形都用一個(gè)小矩形去近似替代它;

③ 這些小矩形面積之和即可作為曲邊梯形面積的近似值;

④ 如何利用曲邊梯形的近似值得到曲邊梯形的精確值呢?

D 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示上述歸納:① 分割;② 近似;③ 求和; ④極限。

1.2求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

(1)提出問題:質(zhì)點(diǎn)在[]內(nèi)做變速直線運(yùn)動(dòng)，如何求質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總路程?

(2)利用上述求曲邊梯形面積的思想讓學(xué)生自己歸納如何求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程。

① 對(duì)[]這個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分割，且分割得越細(xì)越好;

② 分割出來的每個(gè)小時(shí)間段都用勻速直線運(yùn)動(dòng)近似替代它，

③ 各個(gè)小時(shí)間段內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng)的路程之和即可作為[]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程;

④ 提問:何時(shí)這些勻速運(yùn)動(dòng)的路程總和能無(wú)限接近[]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程呢?學(xué)生就會(huì)想到取極限這個(gè)思想上來。即:，{}

歸納:這兩個(gè)問題雖然實(shí)際背景不同，但表達(dá)式實(shí)質(zhì)相同，由此抽象出定積分的定義。

2 定積分的定義

(1)定義:設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[]區(qū)間上的有界函數(shù)，在[]區(qū)間中任意插入個(gè)分點(diǎn)，，且記第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，取max{};在第個(gè)小區(qū)間[]上任取一點(diǎn)(i=1，2，...，n)，作和式.如果當(dāng)時(shí)該和式有極限I，且該極限I不依賴于的選擇，也不依賴于[]如何劃分，則稱此極限I為以為下限、為上限的定積分。這時(shí)我們就說函數(shù)在[]是可積的，且記

(2)(互動(dòng)講解)讓學(xué)生思考:定積分與不定積分由哪些區(qū)別?

3講解例題

例. 利用定積分定義計(jì)算:

[解法]:將區(qū)間[]等分，分點(diǎn)為

記每個(gè)小區(qū)間[]的長(zhǎng)度， 取，

則得和式

由積分定義得:

4 小結(jié)

(1)定積分的實(shí)質(zhì)是一個(gè)和式的極限值，是一個(gè)常數(shù);

(2)該值與[]的劃分無(wú)關(guān)，與內(nèi)的取法也無(wú)關(guān)，只依賴于與[];

(3)的值與積分變量(用什么字母表示)無(wú)關(guān)，即=。